Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2014
Exercice 3 (5 points)
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $ \left(O; \vec{u}, \vec{v}\right) $.
Pour tout entier naturel $ n $, on note $ A_{n} $ le point d'affixe $ z_{n} $ défini par :
$ z_{0}=1 $ et $ z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} $
On définit la suite $ \left(r_{n}\right) $ par $ r_{n}=|z_{n}| $ pour tout entier naturel $ n $.
- Donner la forme exponentielle du nombre complexe $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $.
- Montrer que la suite $ \left(r_{n}\right) $ est géométrique de raison $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $.
- En déduire l'expression de $ r_{n} $ en fonction de $ n $.
- Que dire de la longueur $ OA_{n} $ lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $ ?
On considère l'algorithme suivant :
Variables $ n $ entier naturel $ R $ réel $ P $ réel strictement positif Entrée Demander la valeur de $ P $ Traitement $ R $ prend la valeur $ 1 $ $ n $ prend la valeur $ 0 $ Tant que $ R > P $ $ \quad \quad n $ prend la valeur $ n+1 $ $ \quad \quad R $ prend la valeur $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}R $ Fin tant que Sortie Afficher $ n $ - Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $ P=0,5 $ ?
- Pour $ P=0,01 $ on obtient $ n=33 $. Quel est le rôle de cet algorithme ?
- Démontrer que le triangle $ OA_{n}A_{n+1} $ est rectangle en $ A_{n+1} $.
On admet que $ z_{n}=r_{n}e^{i\frac{n\pi }{6}} $.
Déterminer les valeurs de $ n $ pour lesquelles $ A_{n} $ est un point de l'axe des ordonnées.
Compléter la figure ci-dessous, à rendre avec la copie, en représentant les points $ A_{6}, A_{7}, A_{8} $ et $ A_{9} $.
Les traits de construction seront apparents.
Corrigé
Soit $ r $ le module de $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ :
$ r^2=\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4} $
Donc :
$ r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $
$ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right) $
Si $ \theta $ est un argument de $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ :
$ cos \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{1}{2} $ donc $ \theta = \dfrac{\pi }{6} + 2k\pi $.
La forme exponentielle du nombre complexe $ \dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i $ est donc $ \dfrac{\sqrt{3}}{2}e^{i\frac{\pi }{6}} $
$ z_{n+1}=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} $ donc :
$ |z_{n+1}|=\left|\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right|\times \left|z_{n}\right| $
$ r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_{n} $
La suite $ \left(r_{n}\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ et de premier terme $ r_{0}=|z_{0}|=1 $.
- $ r_{n}=r_{0}\times q^{n}=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{n} $
$ OA_{n}=r_{n} $.
$ \left(r_{n}\right) $ est une suite géométrique de raison $ q=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $. Comme $ 0 < q < 1 $ la suite $ \left(r_{n}\right) $ converge vers 0 lorsque $ n $ tend vers $ + \infty $ .
Voici les valeurs prises par les variables lors de l'exécution pas à pas de l'algorithme pour $ P=0,5 $:
$ n $ $ R $ $ P $ condition $ R > P $ 0 1 0,5 Vraie 1 0,866 0,5 Vraie 2 0,75 0,5 Vraie 3 0,6495 0,5 Vraie 4 0,5625 0,5 Vraie 5 0,487 0,5 Fausse A la fin,l'algorithme affiche la valeur $ 5 $.
- Cet algorithme affiche la plus petite valeur de $ n $ telle que $ OA_{n} \leqslant P $.
$ OA_{n}=r_{n} , OA_{n+1}=r_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}r_{n} $ et :
$ A_{n}A_{n+1}= | z_{n+1} - z_{n} | = \left| \left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right)z_{n} - z_{n} \right| = \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) z_{n} \right| $
$ A_{n}A_{n+1}= \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| \times r_{n} $
Or :
$ \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| ^{2} = \dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{1}{4} $
donc $ \left| \left( - \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}i\right) \right| = \dfrac{1}{2} $ et $ A_{n}A_{n+1}=\dfrac{1}{2}r_{n} $
Finalement :
$ OA_{n+1}^{2} + A_{n}A_{n+1}^{2} = \dfrac{3}{4}r_{n}^{2}+\dfrac{1}{4}r_{n}^{2} = r_{n}^{2} = OA_{n}^{2} $
Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ OA_{n}A_{n+1} $ est rectangle en $ A_{n+1} $.
$ z_{n}=r_{n} \left(\cos\dfrac{n\pi }{6}+i \sin\dfrac{n\pi }{6}\right) $
Le point $ A_{n} $ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $ \cos\dfrac{n\pi }{6} = 0 $, c'est à dire $ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2}+2k\pi $ ou $ n\dfrac{\pi }{6}=\left(3\dfrac{\pi }{2}\right)+2k\pi $ ou encore $ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2} + k\pi $ avec $ k \in \mathbb{Z} $
Or :
$ \dfrac{n\pi }{6}=\dfrac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow \left(n\pi \right)=3\pi + 6k\pi \Leftrightarrow n= 3 + 6k $ (avec $ k \in \mathbb{Z} $)
Comme $ n\geqslant 0 $, $ k $ doit être positif ou nul (donc appartenir à $ \mathbb{N} $).
Les valeurs de $ n $ pour lesquelles $ A_{n} $ est un point de l'axe des ordonnées sont donc
$ n= 3 + 6k $ avec $ k \in \mathbb{N} $ (soit $ n = 3, 9, 15, 21, $ etc.).
Pour la construction (à l'équerre ou au compas) on utilise le fait que les triangles $ OA_{n}A_{n+1} $ sont rectangles en $ A_{n+1} $.