Nombres complexes - Bac S Pondichéry 2013

Exercice 3 (5 points)

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$.

On note $i$ le nombre complexe tel que $i^{2} = – 1$.

On considère le point $A$ d’affixe $z_{\text{A}}=1$ et le point $B$ d’affixe $z_{\text{B}}=i$.

A tout point $M$ d’affixe $z_{M}=x+iy$, avec $x$ et $y$ deux réels tels que $y \neq 0$, on associe le point $M^{\prime}$ d’affixe $z_{M^{\prime}} = – i z_{M}$.

On désigne par $I$ le milieu du segment $\left[AM\right]$.

Le but de l’exercice est de montrer que pour tout point $M$ n’appartenant pas à $\left(OA\right)$, la médiane $\left(OI\right)$ du triangle $OAM$ est aussi une hauteur du triangle $OBM^{\prime}$ (propriété 1) et que $BM^{\prime}=2OI$ (propriété 2).

Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend $z_{M}=2e^{ – i\dfrac{\pi}{3}}$.
1. Déterminer la forme algébrique de $z_{M}$.
2. Montrer que $z_{M^{\prime}} = – \sqrt{3} – i$.
  
  Déterminer le module et un argument de $z_{M^{\prime}}$.
3. Placer les points $A, B, M, M^{\prime}$ et $I$ dans le repère $\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)$ en prenant 2 cm pour unité graphique.
  
  Tracer la droite $\left(OI\right)$ et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l’aide du graphique.
On revient au cas général en prenant $z_{M}=x+iy$ avec $y \neq 0$.
1. Déterminer l’affixe du point $I$ en fonction de $x$ et $y$.
2. Déterminer l’affixe du point $M^{\prime}$ en fonction de $x$ et $y$.
3. Écrire les coordonnées des points $I, B$ et $M^{\prime}$.
4. Montrer que la droite $\left(OI\right)$ est une hauteur du triangle $OBM^{\prime}$.
5. Montrer que $BM^{\prime}=2OI$.

Corrigé

1. $z_{M}=2\left(\cos\left( – \dfrac{\pi }{3}\right)+i\sin\left( – \dfrac{\pi }{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2} – i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=1 – i\sqrt{3}$
2. $z_{M^{\prime}}= – iz_{M}= – i\left(1 – i\sqrt{3}\right)= – \sqrt{3} – i$
  
  $|z_{M^{\prime}}|=| – iz_{M}|=| – i|\times |z_{M}|=1\times 2=2$
  
  $\arg\left(z_{M^{\prime}}\right)=\arg\left( – iz_{M}\right)$$=\arg\left( – i\right)+\arg\left(z_{M}\right)=\dfrac{3\pi }{2} – \dfrac{\pi }{3}$$=\dfrac{7\pi }{6} \left(\text{mod. } 2\pi \right)$
1. $z_{I}=\dfrac{z_{A}+z_{M}}{2}=\dfrac{1+x}{2}+i \dfrac{y}{2}$
2. $z_{M^{\prime}}= – iz_{M}= – i\left(x+iy\right)=y – ix$
3. $I\left(\dfrac{1+x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right)$
  
  $B\left(0;1\right)$
  
  $M^{\prime}\left(y ; – x\right)$
4. $\overrightarrow{OI}\left(\dfrac{1+x}{2} ; \dfrac{y}{2}\right)$ et $\overrightarrow{BM^{\prime}}\left(y ; – x – 1\right)$ donc
  
  $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{BM^{\prime}}=y\times \dfrac{1+x}{2}+\left( – x – 1\right)\times \dfrac{y}{2}=0$
  
  Les vecteurs $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{BM^{\prime}}$ sont orthogonaux donc la droite $\left(OI\right)$ est une hauteur du triangle $OBM^{\prime}$.
5. $BM^{\prime}= \sqrt{y^{2}+\left( – 1 – x\right)^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+1}$
  
  $OI^{2}=\left(\dfrac{1+x}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}\left(x^{2}+y^{2}+2x+1\right)$
  
  donc
  
  $OI=\dfrac{1}{2}\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x+1}=\dfrac{1}{2}BM^{\prime}$.
  
  Donc : $BM^{\prime}=2OI$.

Nombres complexes – Bac S Pondichéry 2013

Exercice 3 (5 points)

Corrigé