Nombres complexes – Bac S Nouvelle Calédonie 2016

Exercice 4 – 5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par

On note $A_n$ le point d’affixe $z_n$ dans le repère orthonormé $(O~;~\vec{u},\vec{v})$ (voir figure en fin de sujet).

L’objet de cet exercice est d’étudier la construction des points $A_n$.

1. 1. Vérifier que $1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{6}}$.

   2. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.

2. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$,

      $z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\dfrac{\pi}{6}}.$

   2. Pour quelles valeurs de $n$, les points $O,~A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?

3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} – z_n\right|$.

   1. Interpréter géométriquement $d_n$.

   2. Calculer $d_0$.

   3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

      $z_{n+2} – z_{n+1} = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} – z_n\right).$

   4. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$,

      $d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.$

4. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$,

      $\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2+d_n^2.$

   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.

   3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure ci-dessous à rendre avec la copie.

   4. Justifier cette construction.