Exercice 3 – 5 points
Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
-
Résoudre dans l’ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes l’équation $(E)$ d’inconnue $z$ :
$z^2 – 8z+64 = 0.$
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $\left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$.
-
On considère les points $A$, $B$ et $C$ d’affixes respectives $a = 4+4\text{i}\sqrt{3}$,
$b = 4 – 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 8\text{i}$.
-
Calculer le module et un argument du nombre $a$.
-
Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$.
-
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un même cercle de centre $O$ dont on déterminera le rayon.
-
Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $\left(O~;~\vec{u},~\vec{v}\right)$.
-
-
Pour la suite de l’exercice, on pourra s’aider de la figure de la question 2. d. complétée au fur et à mesure de l’avancement des questions.
On considère les points $A^\prime$, $B^\prime$ et $C^\prime$ d’affixes respectives $a^\prime = a \text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{3}}$, $b^\prime = b\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{3}}$ et $c^\prime = c\text{e}^{\text{i}\dfrac{\pi}{3}}$.
-
Montrer que $b^\prime = 8$.
-
Calculer le module et un argument du nombre $a^\prime$.
-
-
Pour la suite on admet que $a^\prime = – 4+4\text{i}\sqrt{3}$ et $c^\prime = – 4\sqrt{3}+4\text{i}$.
On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d’affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{m+n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n – m|$.
-
On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs $R$, $S$ et $T$ des segments $[A^\prime B]$, $[B^\prime C]$ et $[C^\prime A]$.
Calculer $r$ et $s$. On admet que $t = 2 – 2\sqrt{3}+\text{i}\left(2+2\sqrt{3}\right)$.
-
Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle $RST$ ?
Justifier ce résultat.
-
Corrigé
-
Le discriminant de l’équation $(E)$ est :
$\Delta = ( – 8)^2 – 4 \times 64 = 64 – 4 \times 64= – 3 \times 64$
$\Delta$ est strictement négatif donc l’équation $(E)$ admet deux racines complexes conjuguées :
$z_1=\dfrac{8 – 8i\sqrt{3}}{2}=4 – 4i\sqrt{3}$
$z_2=\overline{z_1}=4+4i\sqrt{3}$
-
-
$|a|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+48}=8$
Soit $\theta$ un argument de $a$ :
$\cos \theta=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$
$\sin \theta=\dfrac{4\sqrt{3}}{8}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
donc $\theta = \dfrac{\pi}{3}$ (modulo $2\pi$).
-
La forme exponentielle de $a$ est $a=8 e^{i \dfrac{\pi}{3}}$.
$b$ étant le conjugué de $a$, il a le même module et des arguments opposés.
$b=\overline{a}=8 e^{ – i \dfrac{\pi}{3}}$
-
$OA=|a|=8$
$OB=|b|=8$
$OC=|c|=|8i|=8|i|=8$
Les points $A$, $B$ et $C$ appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon $8$.
-
-
-
-
$b^{\prime}=b e^{i \dfrac{\pi}{3}} = 8 e^{ – i \dfrac{\pi}{3}}e^{i \dfrac{\pi}{3}}=8e^{ – i \dfrac{\pi}{3}+i \dfrac{\pi}{3}}=8 e^{0i}=8$
-
$a^{\prime}=a e^{i \dfrac{\pi}{3}} = 8 e^{i \dfrac{\pi}{3}}e^{i \dfrac{\pi}{3}}=8e^{2i \dfrac{\pi}{3}}$
Le module de $a^{\prime}$ est $8$ et un de ses arguments est $\dfrac{2\pi}{3}$
-
-
-
$R$ étant le milieu du segment $[A^{\prime}B]$ :
$r=\dfrac{a^{\prime}+b}{2}=\dfrac{ – 4+4\sqrt{3}+4 – 4\sqrt{3}}{2}=0$
De même, $S$ est le milieu du segment $[B^{\prime}C]$ donc :
$s=\dfrac{b^{\prime}+c}{2}=\dfrac{8+8i}{2}=4+4i$
-
D’après la figure ci-dessous, le triangle $RST$ semble équilatéral.
Montrons que c’est bien le cas.
$RS=|s – r|=|4+4i|=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$.
$ST=|t – s|=\left| – 2 – 2\sqrt{3}+i\left( – 2+2\sqrt{3}\right)\right|$
$ST=\sqrt{\left( – 2 – 2\sqrt{3}\right)^2+\left( – 2+2\sqrt{3}\right)^2}$
$ST=\sqrt{4+8\sqrt{3}+12+4 – 8\sqrt{3}+12}$
$ST=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
$RT=|t – r| = \left| 2 – 2\sqrt{3}+i\left(2+2\sqrt{3}\right)\right|$
$RT=\sqrt{\left(2 – 2\sqrt{3}\right)^2+\left(2+2\sqrt{3}\right)^2}$
$RT=\sqrt{4 – 8\sqrt{3}+12+4+8\sqrt{3}+12}$
$RT=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.
Les trois côtés sont égaux donc $RST$ est un triangle équilatéral.
-