Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
On désigne par (E) l’équation
$z^{4}+4z^{2}+16=0$
d’inconnue complexe $z$.
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Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation $Z^{2} +4Z+16=0$.
Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
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On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi }{3}$.
Calculer $a^{2}$ sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation $z^{2} = – 2+2i\sqrt{3}$. On écrira les solutions sous forme algébrique.
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Restitution organisée de connaissances
On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $z=x+iy$ où $x \in \mathbb{R}$ et $y \in R$, le conjugué de $z$ est le nombre complexe $z$ défini par $z=x – i y$.
Démontrer que :
⋄ Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et $z_{2}$, $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}}$.
⋄ Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}$.
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Démontrer que si $z$ est une solution de l’équation (E) alors son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E).
En déduire les solutions dans $\mathbb{C}$ de l’équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.
Corrigé
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Le discriminant vaut :
$\Delta = 4^{2} – 4\times16\times1= – 48$
Le discriminant est strictement négatif donc l’équation possède deux solutions complexes conjuguées :
$Z_{1}=\dfrac{ – 4 – i\sqrt{48}}{2} = – 2 – 2\sqrt{3}i$
$Z_{2}=\dfrac{ – 4+i\sqrt{48}}{2} = – 2+2\sqrt{3}i$
$|Z_{1}|=\sqrt{4+12}=4$
Si $\theta$ est un argument de $Z_{1}$ :
$\cos \theta = – \dfrac{2}{4}= – \dfrac{1}{2}$ et $\sin \theta = – \dfrac{2\sqrt{3}}{4}= – \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ donc $\theta = \dfrac{ – 2i\pi }{3}$ (mod. $2\pi$)
La forme exponentielle de $Z_{1}$ est donc :
$Z_{1}=4e^{ – 2i\dfrac{\pi }{3}}$
$Z_{2}$ est le conjugué de $Z_{1}$ donc :
$Z_{2}=4e^{2i\dfrac{\pi }{3}}$
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$a=2e^{i\dfrac{\pi }{3}}$ donc
$a^{2}=4e^{2i\dfrac{\pi }{3}}=Z_{2}= – 2+2\sqrt{3}i$
L’équation $z^{2} = – 2+2i\sqrt{3}$ est donc identique à $z^{2}=a^{2}$ dont les solutions sont $a=1+i\sqrt{3}$ et $- a= – 1 – i\sqrt{3}$.
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Posons $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ et $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$
$z_{1}\times z_{2}=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(x_{2}+iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} – y_{1}y_{2} + \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i$
Donc
$\overline{z_{1}\times z_{2}}= x_{1}x_{2} – y_{1}y_{2} – \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i$
Par ailleurs :
$\overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}=\left(x_{1} – iy_{1}\right)\left(x_{2} – iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} – y_{1}y_{2} + \left( – x_{1}y_{2} – x_{2}y_{1}\right)i = \overline{z_{1}\times z_{2}}$
La proposition «Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}$ » se montre par récurrence.
♦ Elle est vraie au rang 1 car $\overline{z^{1}}=\left(\overline{z}\right)^{1} \left(=\overline{z}\right)$
♦ Si on suppose qu’elle est vraie au rang $n$, c’est à dire que $\overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n}$ alors :
$\overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z}$
Or d’après ce qui précède : $\overline{z^{n}\times z} = \overline{z^{n}}\times \overline{z}$ donc :
$\overline{z^{n+1}} = \overline{z^{n}}\times \overline{z}$
$\overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n}\times \overline{z}$ (hypothèse de récurrence)
$\overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n+1}$
ce qui montre la proposition par récurrence.
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Si $z$ est une solution de (E) alors $z^{4}+4z^{2}+16=0$ donc $\overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{0}=0$.
Or d’après les propriétés que l’on vient de démontrer $\overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16$ donc
$\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16=0$ et $\overline{z}$ est également solution de (E).
D’après les questions 1. et 2., $a$ et $- a$ sont solutions de (E).
D’après ce qui précède, $\overline{a}$ et $- \overline{a}$ sont aussi solutions de (E).
Les quatre solutions de (E) sont donc:
$a=1+i\sqrt{3}$
$- a= – 1 – i\sqrt{3}$
$\overline{a}=1 – i\sqrt{3}$
$- \overline{a}= – 1+i\sqrt{3}$