Nombres Complexes – Bac S Métropole 2014
Exercice 3 (5 points)
Commun à tous les candidats
On désigne par (E) l'équation
d'inconnue complexe $ z $.
Résoudre dans $ \mathbb{C} $ l'équation $ Z^{2} +4Z+16=0 $.
Écrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle.
On désigne par $ a $ le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est égal à $ \dfrac{\pi }{3} $.
Calculer $ a^{2} $ sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation $ z^{2} = - 2+2i\sqrt{3} $. On écrira les solutions sous forme algébrique.
Restitution organisée de connaissances
On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe $ z=x+iy $ où $ x \in \mathbb{R} $ et $ y \in R $, le conjugué de $ z $ est le nombre complexe $ z $ défini par $ z=x - i y $.
Démontrer que :
⋄ Pour tous nombres complexes $ z_{1} $ et $ z_{2} $, $ \overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}} \ \overline{z_{2}} $.
⋄ Pour tout nombre complexe $ z $ et tout entier naturel non nul $ n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $.
Démontrer que si $ z $ est une solution de l'équation (E) alors son conjugué $ \overline{z} $ est également une solution de (E).
En déduire les solutions dans $ \mathbb{C} $ de l'équation (E). On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.
Corrigé
Le discriminant vaut :
$ \Delta = 4^{2} - 4\times16\times1= - 48 $
Le discriminant est strictement négatif donc l'équation possède deux solutions complexes conjuguées :
$ Z_{1}=\dfrac{ - 4 - i\sqrt{48}}{2} = - 2 - 2\sqrt{3}i $
$ Z_{2}=\dfrac{ - 4+i\sqrt{48}}{2} = - 2+2\sqrt{3}i $
$ |Z_{1}|=\sqrt{4+12}=4 $
Si $ \theta $ est un argument de $ Z_{1} $ :
$ \cos \theta = - \dfrac{2}{4}= - \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = - \dfrac{2\sqrt{3}}{4}= - \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ donc $ \theta = \dfrac{ - 2i\pi }{3} $ (mod. $ 2\pi $)
La forme exponentielle de $ Z_{1} $ est donc :
$ Z_{1}=4e^{ - 2i\frac{\pi }{3}} $
$ Z_{2} $ est le conjugué de $ Z_{1} $ donc :
$ Z_{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}} $
$ a=2e^{i\frac{\pi }{3}} $ donc
$ a^{2}=4e^{2i\frac{\pi }{3}}=Z_{2}= - 2+2\sqrt{3}i $
L'équation $ z^{2} = - 2+2i\sqrt{3} $ est donc identique à $ z^{2}=a^{2} $ dont les solutions sont $ a=1+i\sqrt{3} $ et $ - a= - 1 - i\sqrt{3} $.
Posons $ z_{1}=x_{1}+iy_{1} $ et $ z_{2}=x_{2}+iy_{2} $
$ z_{1}\times z_{2}=\left(x_{1}+iy_{1}\right)\left(x_{2}+iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i $
Donc
$ \overline{z_{1}\times z_{2}}= x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} - \left(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)i $
Par ailleurs :
$ \overline{z_{1}}\times \overline{z_{2}}=\left(x_{1} - iy_{1}\right)\left(x_{2} - iy_{2}\right) = x_{1}x_{2} - y_{1}y_{2} + \left( - x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}\right)i = \overline{z_{1}\times z_{2}} $
La proposition «Pour tout nombre complexe $ z $ et tout entier naturel non nul $ n, \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $ » se montre par récurrence.
♦ Elle est vraie au rang 1 car $ \overline{z^{1}}=\left(\overline{z}\right)^{1} \left(=\overline{z}\right) $
♦ Si on suppose qu'elle est vraie au rang $ n $, c'est à dire que $ \overline{z^{n}}=\left(\overline{z}\right)^{n} $ alors :
$ \overline{z^{n+1}}=\overline{z^{n}\times z} $
Or d'après ce qui précède : $ \overline{z^{n}\times z} = \overline{z^{n}}\times \overline{z} $ donc :
$ \overline{z^{n+1}} = \overline{z^{n}}\times \overline{z} $
$ \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n}\times \overline{z} $ (hypothèse de récurrence)
$ \overline{z^{n+1}} = \left(\overline{z}\right)^{n+1} $
ce qui montre la proposition par récurrence.
Si $ z $ est une solution de (E) alors $ z^{4}+4z^{2}+16=0 $ donc $ \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{0}=0 $.
Or d'après les propriétés que l'on vient de démontrer $ \overline{z^{4}+4z^{2}+16}=\overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16 $ donc
$ \overline{z}^{4}+4\overline{z}^{2}+16=0 $ et $ \overline{z} $ est également solution de (E).
D'après les questions 1. et 2., $ a $ et $ - a $ sont solutions de (E).
D'après ce qui précède, $ \overline{a} $ et $ - \overline{a} $ sont aussi solutions de (E).
Les quatre solutions de (E) sont donc:
$ a=1+i\sqrt{3} $
$ - a= - 1 - i\sqrt{3} $
$ \overline{a}=1 - i\sqrt{3} $
$ - \overline{a}= - 1+i\sqrt{3} $