Soit la fonction $f$, définie par : $f\left(x\right)=x^{2}+3x – 4$ et $\mathscr C_{f}$ sa courbe représentative.
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Calculer $\dfrac{f\left(h\right) – f\left(0\right)}{h}$ pour $h \neq 0$.
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En déduire la valeur de $f^{\prime}\left(0\right)$.
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Déterminer l’équation de la tangente à la parabole $\mathscr C_{f}$ au point d’abscisse $0$.
Corrigé
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Pour $h \neq 0$:
$\dfrac{f\left(h\right) – f\left(0\right)}{h}=\dfrac{\left(h^{2}+3h – 4\right) – \left(0^{2}+3\times 0 – 4\right)}{h}=\dfrac{h^{2}+3h}{h}=h+3$
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Lorsque $h$ tend vers $0$, le rapport $\dfrac{f\left(0+h\right) – f\left(0\right)}{h}=h+3$ tend vers $3$ donc $f^{\prime}\left(0\right)=3$.
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L’équation cherchée est :
$y=f^{\prime}\left(0\right)\left(x – 0\right)+f\left(0\right)$
Or $f\left(0\right)=0^{2}+3\times 0 – 4= – 4$ et $f^{\prime}\left(0\right)=3$ d’après la question précédente.
L’équation de la tangente à la parabole $\mathscr C_{f}$ au point d’abscisse $0$ est donc :
$y=3x – 4$
