Modélisation par une fonction exponentielle

Partie 1

1. Le pourcentage d’évolution de la population entre 2013 et 2014 est (voir formule de calcul d’une évolution) :

   $t_1 = \dfrac{ p_1 – p_0 }{ p_0 } = \dfrac{ 2~475 – 2~502 }{ 2~502 }$$\approx – 0,0108 \approx \dfrac{ – 1,08 }{ 100 } = – 1,08\%$

   De même, le pourcentage d’évolution entre 2014 et 2015 est :

   $t_2 = \dfrac{ p_2 – p_1}{ p_1 } = \dfrac{ 2~452 – 2~475 }{ 2~475 }$$\approx – 0,0093 \approx \dfrac{ – 0,93 }{ 100 } = – 0,93\%$

   entre 2015 et 2016 :

   $t_3 = \dfrac{ p_3 – p_2}{ p_2 } = \dfrac{ 2~430 – 2~452 }{ 2~452 }$$\approx – 0,0090 \approx \dfrac{ – 0,90 }{ 100 } = – 0,90\%$

   enfin, entre 2018 et 2019 :

   $t_6 = \dfrac{ p_6 – p_5}{ p_5 } = \dfrac{ 2~351 – 2~378 }{ 2~378 }$$\approx – 0,0114 \approx \dfrac{ – 1,14 }{ 100 } = – 1,14\%$

   On remarque que, dans tous les cas, la diminution est proche de 1%.

2. Le coefficient multiplicateur qui fait passer de $p_{n+1}$ à $p_n$ correspondant à une baisse de 1% est (voir coefficient multiplicateur) :

   $CM=1 – \dfrac{ 1 }{ 100 } =0,99$

   On a donc, pour tout entier naturel $n$ :

   $p_{n+1} = 0,99p_n$

   La suite $\left( p_n \right)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,99.$ Son premier terme est $p_0=2502.$

3. La population de la ville à l’année de rang $n$ est :

   $p_n=p_0\ q^n = 2502 \times 0,99^n$

   L’année 2030 correspond au rang 17. La population en 2030 peut donc, d’après ce modèle, être estimée à :

   $p_{ 17 } = 2502 \times 0,99^{ 17 } \approx 2109.$

Partie 2

1. $f$ est dérivable sur $\left[ 0~;~ +\infty \right[$. Pour déterminer le sens de variation de $f$, on calcule sa dérivée $f^{\prime}$.
   
   Sachant que la dérivée de la fonction $t \longmapsto \text{e}^{ at }$ est la fonction $t \longmapsto a\ \text{e}^{ at }$ on obtient :

   $f^{\prime}(t)=2500 \times – 0,01 \text{e}^{ – 0,01t } = – 25 \ \text{e}^{ – 0,01t }$

   $- 25$ est strictement négatif tandis que $\text{e}^{ – 0,01t }$ est strictement positif (car la fonction exponentielle ne prend que des valeurs strictement positives) donc $f^{\prime}(t) < 0$ sur $\left[ 0~;~ +\infty \right[$.

   Par conséquent, la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $\left[ 0~;~ +\infty \right[$.

2. La fonction Python se définit simplement comme suit :

   def f(t) :
       return 2500 * exp(-0.01 * t)

   On doit toutefois importer le module math qui contient la fonction exp ; par exemple :

   from math import exp
   def f(t) :
       return 2500 * exp(0.01 * t)

   Comme on connait le nombre d’itérations, on peut employer une boucle for pour afficher les images des 7 premières valeurs entières de $t$ :

   from math import exp
   def f(t) :
       return 2500 * exp(-0.01 * t)
   
   for t in range(7) : 
       print(f(t))

   On obtient le résultat suivant :

   2500.0
   2475.1245843729203
   2450.4966832668883
   2426.1138338712703
   2401.973597880808
   2378.073561251785
   2354.411333960622

   Ces valeurs sont suffisamment proches de celles du tableau donné dans l’énoncé pour considérer que cette modélisation est satisfaisante.

3. On utilise une boucle while pour répondre à la question.
   
   On reste dans la boucle tant que le nombre d’habitants est supérieur ou égal à 2 200 et on sort de la boucle dès que ce nombre devient strictement inférieur à 2 200.

   Il faut penser à initialiser la variable t avant la boucle et à l’incrémenter à l’intérieur de la boucle (voir : boucles while). On peut ensuite afficher la valeur de t à la sortie de la boucle :

   from math import exp
   def f(t) :
       return 2500 * exp(-0.01 * t)
   
   t=0
   while f(t) >= 2200: 
       t=t+1
   print(t)

   Ce programme affiche la valeur 13.

   D’après ce modèle, la population passera sous la barre des 2 200 l’année de rang 13 c’est à dire en 2013+13 = 2026.