Médianes – Centre de gravité
On se place dans un repère $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $.
Soient les points $ A\left(1;1\right), B\left(4;2\right) $ et $ C\left(2;4\right) $
- Déterminer les coordonnées du point $ M $ milieu de $ \left[BC\right] $. En déduire une équation de la médiane au triangle $ ABC $ issue de $ A $.
- Déterminer une équation de la médiane au triangle $ ABC $ issue de $ B $.
- En déduire les coordonnées du centre de gravité $ G $ du triangle $ ABC $.
- Vérifier que $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AM} $
Corrigé
Remarque : Pour des raisons de simplicité, le repère choisi pour la figure est orthonormé. Toutefois, cet exercice ne nécessite pas que le repère soit orthonormé.
Les coordonnées de $ M $ sont $ \left(\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2} ; \dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)=\left(3;3\right) $
La médiane au triangle $ ABC $ issue de $ A $ est la droite $ \left(AM\right) $.
Le point $ P\left(x;y\right) $ appartient à la droite $ \left(AM\right) $ si et seulement si les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AP} $ sont colinéaires.
$ \overrightarrow{AP} $ a pour coordonnées $ \left(x - x_{A} ; y - y_{A}\right)=\left(x - 1 ; y - 1\right) $
$ \overrightarrow{AM} $ a pour coordonnées $ \left(x_{M} - x_{A} ; y_{M} - y_{A}\right)=\left(2 ; 2\right) $
Les vecteurs $ \overrightarrow{AM} $ et $ \overrightarrow{AP} $ sont colinéaires si et seulement si (voir théorème) :
$ \left(x - 1\right)\times 2 - \left(y - 1\right)\times 2=0 $
$ 2x - 2y=0 $
Une équation de la médiane au triangle $ ABC $ issue de $ A $ est donc $ 2x - 2y=0 $ ou après simplification par $ 2 $ :
$ x - y=0 $- Le raisonnement étant identique, il ne sera pas détaillé.
$ N\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2}\right) $
$ \overrightarrow{BP} $ a pour coordonnées $ \left(x - 4 ; y - 2\right) $
$ \overrightarrow{BN} $ a pour coordonnées $ \left(x_{M} - x_{A} ; y_{M} - y_{A}\right)=\left( - \dfrac{5}{2} ; \dfrac{1}{2}\right) $
Une équation de $ \left(BN\right) $ est :
$ \left(x - 4\right)\times \dfrac{1}{2} - \left(y - 2\right)\times - \dfrac{5}{2}=0 $
$ x+5y - 14=0 $ (après multiplication par $ 2 $) - Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection de ses médianes.
Le couple de coordonnées du point $ G $ est donc la solution du système :
$ \left\{ \begin{matrix} x - y=0 \\ x+5y - 14=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ 6y - 14=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ y=7/3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=7/3 \\ y=7/3 \end{matrix}\right. $
Les coordonnées de $ G $ sont donc $ \left(\dfrac{7}{3} ; \dfrac{7}{3}\right) $ - $ \overrightarrow{AG} $ a pour coordonnées $ \left(x_{G} - x_{A} ; y_{G} - y_{A}\right)=\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}\right) $
$ \overrightarrow{AM} $ a pour coordonnées $ \left(2 ; 2\right) $
On a donc bien $ \overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AM} $
Remarque : On retrouve dans cette question un résultat vu au collège. Si l'exercice demandait seulement de trouver les coordonnées de $ G $, il était bien sûr plus facile de partir de cette égalité vectorielle que de déterminer l'équation des médianes.