Médianes – Centre de gravité

Remarque : Pour des raisons de simplicité, le repère choisi pour la figure est orthonormé. Toutefois, cet exercice ne nécessite pas que le repère soit orthonormé.

1. Les coordonnées de $M$ sont $\left(\dfrac{x_{B}+x_{C}}{2} ; \dfrac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)=\left(3;3\right)$

   La médiane au triangle $ABC$ issue de $A$ est la droite $\left(AM\right)$.

   Le point $P\left(x;y\right)$ appartient à la droite $\left(AM\right)$ si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires.

   $\overrightarrow{AP}$ a pour coordonnées $\left(x – x_{A} ; y – y_{A}\right)=\left(x – 1 ; y – 1\right)$

   $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\left(x_{M} – x_{A} ; y_{M} – y_{A}\right)=\left(2 ; 2\right)$

   Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AP}$ sont colinéaires si et seulement si (voir théorème) :

   $\left(x – 1\right)\times 2 – \left(y – 1\right)\times 2=0$

   $2x – 2y=0$

   Une équation de la médiane au triangle $ABC$ issue de $A$ est donc $2x – 2y=0$ ou après simplification par $2$ :

   $x – y=0$

2. Le raisonnement étant identique, il ne sera pas détaillé.

   $N\left(\dfrac{3}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)$

   $\overrightarrow{BP}$ a pour coordonnées $\left(x – 4 ; y – 2\right)$

   $\overrightarrow{BN}$ a pour coordonnées $\left(x_{M} – x_{A} ; y_{M} – y_{A}\right)=\left( – \dfrac{5}{2} ; \dfrac{1}{2}\right)$

   Une équation de $\left(BN\right)$ est :

   $\left(x – 4\right)\times \dfrac{1}{2} – \left(y – 2\right)\times – \dfrac{5}{2}=0$

   $x+5y – 14=0$ (après multiplication par $2$)

3. Le centre de gravité d’un triangle est le point d’intersection de ses médianes.

   Le couple de coordonnées du point $G$ est donc la solution du système :

   $$\left\{ \begin{matrix} x – y=0 \\ x+5y – 14=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ 6y – 14=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=y \\ y=7/3\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} x=7/3 \\ y=7/3 \end{matrix}\right.$$

   Les coordonnées de $G$ sont donc $\left(\dfrac{7}{3} ; \dfrac{7}{3}\right)$

4. $\overrightarrow{AG}$ a pour coordonnées $\left(x_{G} – x_{A} ; y_{G} – y_{A}\right)=\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3}\right)$

   $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées $\left(2 ; 2\right)$

   On a donc bien $\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{AM}$

   Remarque : On retrouve dans cette question un résultat vu au collè\ge. Si l’exercice demandait seulement de trouver \les coordonnées de $G$, il était bien sûr plus facile de partir de cette égalité vectorielle que de déterminer l’équation des médianes.