Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d’habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.
On admet que :
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si une année un habitant pratique le co-voiturage, l’année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
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si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l’année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.
Première partie
On note C l’état « pratiquer le co-voiturage » et V l’état « se déplacer seul dans sa voiture ».
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Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
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En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est
$$M=\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \\ 0,35 & 0,65 \end{pmatrix}$$
Vérifier que l’état stable du système correspond à la matrice ligne $\left(70 \quad 120\right)$.
En donner une \interprétation.
Deuxième partie
En 2000, 60 milliers d’habitants pratiquaient \le co-voiturage et 130 milliers d’habitants se déplaçaient seuls dans \leur voiture.
On appelle $X_{n}$ ($n$ entier naturel) \le nombre de milliers d’habitants qui pratiquent \le co-voiturage durant l’année $2000+n$. On a donc $X_{0}=60$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $X_{n+1}=0,05X_{n}+66,5$.
On considère la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n}=X_{n} – 70$.
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Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
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Montrer que pour tout entier naturel $n$, $X_{n}=70 – 10 \times 0,05^{n}$.
Est-il possible que, durant une année, le nombre d’habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région