Matrice de transition et Suites
Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190 milliers d'habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se déplacent seuls dans leur voiture, les autres pratiquent le co-voiturage.
On admet que :
- si une année un habitant pratique le co-voiturage, l'année suivante il se déplace seul dans sa voiture avec une probabilité égale à 0,6 ;
- si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l'année suivante il pratique le co-voiturage avec une probabilité égale à 0,35.
Première partie
On note C l'état « pratiquer le co-voiturage » et V l'état « se déplacer seul dans sa voiture ».
- Dessiner un graphe probabiliste de sommets C et V qui modélise la situation aléatoire décrite.
En considérant C et V dans cet ordre, en ligne, la matrice de transition associée à ce graphe est
$ M=\begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \\ 0,35 & 0,65 \end{pmatrix} $
Vérifier que l'état stable du système correspond à la matrice ligne $ \left(70 \quad 120\right) $.
En donner une interprétation.
Deuxième partie
En 2000, 60 milliers d'habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d'habitants se déplaçaient seuls dans leur voiture.
On appelle $ X_{n} $ ($ n $ entier naturel) le nombre de milliers d'habitants qui pratiquent le co-voiturage durant l'année $ 2000+n $. On a donc $ X_{0}=60 $.
On admet que pour tout entier naturel $ n $, $ X_{n+1}=0,05X_{n}+66,5 $.
On considère la suite $ \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} $ définie pour tout entier naturel n par $ u_{n}=X_{n} - 70 $.
- Prouver que la suite $ \left(u_{n}\right)_{n\in \mathbb{N}} $ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Montrer que pour tout entier naturel $ n $, $ X_{n}=70 - 10 \times 0,05^{n} $.
Est-il possible que, durant une année, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage atteigne la moitié de la population de cette région
Corrigé
Première partie
- Le graphe probabiliste associé à cette situation possède deux sommets C (co-voiturage) et V (voiture seule).
D'après l'énoncé : - Si un habitant pratique le co-voiturage (C), l'année suivante il se déplace seul (V) avec une probabilité de 0,6. On a donc une arête de C vers V de poids 0,6 et une boucle sur C de poids $ 1 - 0,6 = 0,4 $.
Si un habitant se déplace seul (V), l'année suivante il pratique le co-voiturage (C) avec une probabilité de 0,35. On a donc une arête de V vers C de poids 0,35 et une boucle sur V de poids $ 1 - 0,35 = 0,65 $.
Notons $ S = \begin{pmatrix} 70 & 120 \end{pmatrix} $ la matrice ligne proposée.
On vérifie d'abord que la somme des coefficients correspond bien à la population totale (en milliers) :
$ 70 + 120 = 190 $.Vérifions maintenant si $ S \times M = S $ :
$ \begin{pmatrix} 70 & 120 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,4 & 0,6 \\ 0,35 & 0,65 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 70 \times 0,4 + 120 \times 0,35 & 70 \times 0,6 + 120 \times 0,65 \end{pmatrix} $
$ S \times M = \begin{pmatrix} 28 + 42 & 42 + 78 \end{pmatrix} $
$ S \times M = \begin{pmatrix} 70 & 120 \end{pmatrix} $.L'égalité $ S \times M = S $ est vérifiée, donc $ S $ est bien l'état stable du système.
**Interprétation :**
Sur le long terme, le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage se stabilisera à 70 000 et celui des habitants se déplaçant seuls à 120 000.
Deuxième partie
Pour tout entier naturel $ n $, on a $ u_n = X_n - 70 $.
Calculons $ u_{n+1} $ en fonction de $ u_n $ :
$ u_{n+1} = X_{n+1} - 70 $
$ u_{n+1} = 0,05 X_n + 66,5 - 70 $
$ u_{n+1} = 0,05 X_n - 3,5 $
$ u_{n+1} = 0,05 (X_n - 70) $
$ u_{n+1} = 0,05 u_n $La suite $ \left(u_n\right)_{n \in \mathbb{N}} $ est donc une suite géométrique de raison $ q = 0,05 $ et de premier terme $ u_0 = X_0 - 70 = 60 - 70 = -10 $.
D'après les propriétés des suites géométriques, pour tout entier naturel $ n $ :
$ u_n = u_0 \times q^n = -10 \times 0,05^n $Comme $ u_n = X_n - 70 $, on en déduit que $ X_n = 70 + u_n $, soit :
$ X_n = 70 - 10 \times 0,05^n $La population totale de la région est de 190 000 habitants.
La moitié de cette population correspond à $ 190 / 2 = 95 $ milliers d'habitants.
Cherchons si $ X_n $ peut atteindre la valeur 95 :
Pour tout entier naturel $ n $, $ 0,05^n > 0 $, donc $ 10 \times 0,05^n > 0 $.
On en déduit que $ 70 - 10 \times 0,05^n < 70 $.
Le nombre d'habitants pratiquant le co-voiturage reste donc toujours inférieur à 70 000.Il n'est donc pas possible que ce nombre atteigne la moitié de la population (95 000 habitants).