Matrice de transition (Bac ES Pondichéry 2006)
Pendant la saison estivale, deux sociétés de transport maritime ont l'exclusivité de l'acheminement des touristes entre deux îles du Pacifique. On admet que le nombre de touristes transportés pendant chaque saison est stable.
La société "Alizés" a établi une enquête statistique sur les années 2001 à 2005 afin de prévoir l'évolution de la capacité d'accueil de ses navires.
L'analyse des résultats a conduit au modèle suivant : d'une année sur l'autre, la société "Alizés", notée A, conserve 80% de sa clientèle et récupère 15 % des clients de la société concurrente, notée B.
Pour tout entier naturel $ n $, on note pour la saison $ 2005+n $ :
- $ a_{n} $ la probabilité qu'un touriste ait choisi la société "Alizés" (A),
- $ b_{n} $ la probabilité qu'un touriste ait choisi l'autre société de transport (B),
- $ P_{n}=\begin{pmatrix} a_{n} & b_{n }\end{pmatrix} $, la matrice traduisant l'état probabiliste,avec $ a_{n}+b_{n}=1 $.
Les résultats pour les probabilités seront arrondies à $ 10^{ - 4} $.
- Modéliser le changement de situation par un graphe probabiliste de sommets nommés A et B.
On note $ M $ la matrice de transition de ce graphe. Compléter la matrice suivante :
M=$ \begin{pmatrix} 0,8 & \cdots \\ 0,15 & \cdots \end{pmatrix} $
En 2005, la société "Alizés" a transporté 45 % des touristes. On a donc $ a_{0}=0,45 $.
- Calculer la probabilité qu'un touriste choisisse la société "Alizés" en 2006.
- Déterminer la matrice $ P_{2} $ et interpréter ces résultats.
Soit $ P=\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} $ avec $ a $ et $ b $ deux réels positifs tels que $ a+b=1 $.
- Déterminer $ a $ et $ b $ tels que $ P=P \times M $.
- En déduire $ \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }a_{n} $.
- Interpréter ce résultat
- On admet qu'en 2015, la probabilité qu'un touriste choisisse la société A est $ \dfrac{3}{7} $ . On interroge quatre touristes choisis au hasard ; les choix des touristes sont indépendants les uns des autres.
Déterminer la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société "Alizés" pour ses vacances en 2015
Corrigé
- Le graphe probabiliste associé à cette situation possède deux sommets :
- A représentant la société "Alizés" ;
B représentant sa concurrente.
D'après l'énoncé :
- La société "Alizés" (A) conserve 80 % de sa clientèle ($ A \to A $ : 0,8) et en perd donc 20 % au profit de B ($ A \to B $ : 0,2).
Elle récupère 15 % des clients de la société concurrente B ($ B \to A $ : 0,15) et B en conserve donc 85 % ($ B \to B $ : 0,85).
La matrice de transition $ M $ de ce graphe, en considérant les sommets A et B dans cet ordre, est :
$ M = \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix} $
En 2005 ($ n = 0 $), la société "Alizés" a transporté 45 % des touristes, donc $ a_0 = 0,45 $.
Comme $ a_0 + b_0 = 1 $, on a $ b_0 = 0,55 $.
L'état initial est donc $ P_0 = \begin{pmatrix} 0,45 & 0,55 \end{pmatrix} $.L'état en 2006 ($ n = 1 $) est donné par $ P_1 = P_0 \times M $ :
$ P_1 = \begin{pmatrix} 0,45 & 0,55 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix} $
$ P_1 = \begin{pmatrix} 0,45 \times 0,8 + 0,55 \times 0,15 & 0,45 \times 0,2 + 0,55 \times 0,85 \end{pmatrix} $
$ P_1 = \begin{pmatrix} 0,36 + 0,0825 & 0,09 + 0,4675 \end{pmatrix} $
$ P_1 = \begin{pmatrix} 0,4425 & 0,5575 \end{pmatrix} $La probabilité qu'un touriste choisisse la société "Alizés" en 2006 est de 0,4425.
L'état en 2007 ($ n = 2 $) est donné par $ P_2 = P_1 \times M $ :
$ a_2 = 0,4425 \times 0,8 + 0,5575 \times 0,15 = 0,354 + 0,083625 = 0,437625 $
$ b_2 = 0,4425 \times 0,2 + 0,5575 \times 0,85 = 0,0885 + 0,473875 = 0,562375 $En arrondissant à $ 10^{-4} $, on obtient :
$ P_2 \approx \begin{pmatrix} 0,4376 & 0,5624 \end{pmatrix} $Interprétation : En 2007, environ 43,76 % des touristes choisiront la société "Alizés" et 56,24 % choisiront la société concurrente B.
On cherche l'état stable $ P = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} $ tel que $ P = P \times M $ avec $ a + b = 1 $.
$ \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,15 & 0,85 \end{pmatrix} $
$ \iff \begin{cases} a = 0,8a + 0,15b \\ b = 0,2a + 0,85b \\ a + b = 1 \end{cases} $
$ \iff \begin{cases} 0,2a = 0,15b \\ b = 1 - a \end{cases} $
$ \iff 0,2a = 0,15(1 - a) $
$ \iff 0,2a = 0,15 - 0,15a $
$ \iff 0,35a = 0,15 $
$ \iff a = \dfrac{0,15}{0,35} = \dfrac{15}{35} = \dfrac{3}{7} $On en déduit $ b = 1 - \dfrac{3}{7} = \dfrac{4}{7} $.
L'état stable est donc $ P = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{7} & \dfrac{4}{7} \end{pmatrix} $.
La matrice de transition $ M $ ne contient aucun coefficient nul (elle est régulière), donc l'état de probabilité $ P_n $ tend vers l'état stable $ P $ quel que soit l'état initial.
On a donc :$ \lim\limits_{n \to +\infty} a_n = \dfrac{3}{7} $- Interprétation : Sur le long terme, la probabilité qu'un touriste choisisse la société "Alizés" se stabilisera à $ \dfrac{3}{7} \approx 0,4286 $.
La société "Alizés" détiendra donc environ 42,86 % des parts de marché.
Soit $ X $ la variable aléatoire correspondant au nombre de touristes choisissant la société "Alizés" parmi les quatre personnes interrogées.
L'expérience consiste à répéter quatre fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre $ p = \dfrac{3}{7} $.
$ X $ suit donc la loi binomiale $ \mathcal{B}\left(4 ; \dfrac{3}{7} \right) $.On cherche la probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse A, soit $ P(X \ge 1) $.
Par passage à l'événement contraire :
$ P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) $
$ P(X \ge 1) = 1 - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix} \times \left( \dfrac{3}{7} \right)^0 \times \left( 1 - \dfrac{3}{7} \right)^4 $
$ P(X \ge 1) = 1 - 1 \times 1 \times \left( \dfrac{4}{7} \right)^4 $
$ P(X \ge 1) = 1 - \dfrac{256}{2401} $
$ P(X \ge 1) = \dfrac{2145}{2401} \approx 0,8934 $La probabilité qu'au moins un des quatre touristes choisisse la société "Alizés" est d'environ 0,8934.