$ABC$ est un triangle quelconque tel que $AB = 7$cm, $AC= 5$cm et $BC = 4$cm.
$M$ est un point du segment $\left[ BC \right] .$
La parallèle à la droite $\left( AB \right)$ passant par $M$ coupe le côté $[AC]$ en $N.$
La parallèle à la droite $\left( AC \right)$ passant par $M$ coupe le côté $[AB]$ en $P.$
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À quelle distance du point $C$ faut-il placer le point $M$ pour que le quadrilatère $APMN$ soit un parallélogramme ?
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Sans utiliser le résultat de la question précédente, construire le point $M$ à l’aide d’une règle non graduée et d’un compas.
Corrigé
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On sait déjà que $APMN$ est un parallélogramme car les droites $\left( MN \right)$ et $\left( AP \right)$ sont parallèles ainsi que les droites $\left( MP \right) et \left( AN \right).$
Pour que ce soit un losange il faut et il suffit que $MN = MP.$
Calculons $MP$ puis $MN$ en utilisant le théorème de Thalès :
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Calcul de $MP$
Posons $x = MC.$
On a alors :
$BM = BC -MC = 4 -x$Les droites $\left( MP \right)$ et $\left( AC \right)$ sont parallèles ; les points $B, M, C$ et les points $B, P, A$ sont alignés.
Donc, d’après le théorème de Thalès :
$\dfrac{ BM }{ BC } = \dfrac{ MP }{ AC } = \dfrac{ BP }{ AB }$
La première égalité donne :
$\dfrac{ 4-x }{ 4 } = \dfrac{ MP }{ 5 }$
donc, avec un produit en croix :
$4 MP = 5 \left( 4-x \right)$
$MP = \dfrac{ 5 \left( 4-x \right) }{ 4 }.$
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Calcul de MN
De même, les droites $\left( MN \right)$ et $\left( AB \right)$ sont parallèles et les points $C, M, B$ et $C, N, A$ sont alignés.
Par conséquent :
$\dfrac{ CM }{ BC } = \dfrac{ MN }{ AB } = \dfrac{ CN }{ CA }$
L’égalité des deux premiers quotients équivaut à :
$\dfrac{ x }{ 4 } = \dfrac{ MN }{ 7 }$
soit :
$4 MN = 7x$
$MN = \dfrac{ 7x }{ 4 }.$ -
Conclusion
$APMN$ est donc un losange si et seulement si :
$MP = MN$
$\dfrac{ 5(4-x) }{ 4 } = \dfrac{ 7x }{ 4 }$
$5 \left( 4 -x \right) = 7x$
$20 -5x = 7x$
$20 = 7x + 5x$
$12x = 20$$x = \dfrac{ 5 }{ 3 }$
Il faut placer le point $M$ à $\dfrac{ 5 }{ 3 }$cm ( $\approx 1,67$ cm) de $C$ pour que le quadrilatère $APMN$ soit un parallélogramme.
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Les diagonales d’un losange sont des axes de symétrie de ce losange.
Donc, si $APMN$ est un losange, la droite $\left( AM \right)$ est un axe de symétrie donc une bissectrice de l’angle $\widehat{ PAN }$ qui est aussi l’angle $\widehat{ BAC }.$
Pour placer le point $M$, il suffit donc de construire au compas la bissectrice de l’angle $\widehat{ BAC }.$
$M$ est alors le point d’intersection de cette bissectrice avec le côté $\left[ BC \right]$ :
