Probabilités Lancers successifs - Bac S Pondichéry 2009

Exercice 4

4 points – Commun à tous les candidats

On dispose de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Ces dés sont en apparence identiques mais l’un est bien équilibré et l’autre truqué. Avec le dé truqué la probabilité d’obtenir 6 lors d’un lancer est égale à $\dfrac{1}{3}$.

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

On lance le dé bien équilibré trois fois de suite et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de 6 obtenus.
1. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire X ?
2. Quelle est son espérance ?
3. Calculer $P\left(X=2\right)$.
On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables. Et on lance le dé choisi trois fois de suite.

On considère les événements D et A suivants:

•ﾠﾠ D : « le dé choisi est le dé bien équilibré » ;

•ﾠﾠ A : « obtenir exactement deux 6 ».
1. Calculer la probabilité des événements suivants :
  
  •ﾠﾠ « choisir le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » ;
  
  •ﾠﾠ « choisir le dé truqué et obtenir exactement deux 6 ».
  
  (On pourra construire un arbre de probabilité).
2. En déduire que: $p\left(A\right)=\dfrac{7}{48}$.
3. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi le dé truqué ?
On choisit au hasard l’un des deux dés, les choix étant équiprobables, et on lance le dé $n$ fois de suite ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2).

On note $B_{n}$ l’événement « obtenir au moins un 6 parmi ces $n$ lancers successifs ».
1. Déterminer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ de l’événement $B_{n}$.
2. Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. Commenter ce résultat.

Corrigé

1. La variable aléatoire $X$ suit une loi binômiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{6}$
2. $E\left(X\right)=np=3\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}$
3. $$P\left(X=2\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\times \dfrac{5}{6}=3\times \dfrac{5}{216}=\dfrac{5}{72}$$.
1. L’évènement « choisir \le dé bien équilibré et obtenir exactement deux 6 » est $D \cap A$ :
  
  $p\left(D \cap A\right)=p\left(D\right)\times p_{D}\left(A\right)$
  
  La probabilité $p_{D}\left(A\right)$ est la probabilité d’obtenir exactement deux 6 sachant \le dé choisi est \le dé bien équilibré; c’est à dire $p_{D}(A)=p(X=2)=\dfrac{5}{72}$ d’après la première question donc :
  
  $p\left(D \cap A\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{5}{72}=\dfrac{5}{144}$
  
  L’évènement « choisir \le dé truqué et obtenir exactement deux 6 » est $\overline{D} \cap A$
  
  $p\left(\overline{D} \cap A\right)=p\left(\overline{D}\right)\times p_{\overline{D}}\left(A\right)$
  
  La probabilité $p_{\overline{D}}\left(A\right)$ correspond à « la probabilité d’obtenir exactement deux 6 sachant \le dé choisi est \le dé truqué » :
  
  $$p_{\overline{D}}\left(A\right)=\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{9}$$
  
  Donc :
  
  $p\left(\overline{D} \cap A\right)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{9}$
  
  $Arbre pondéré$
2. D’après \le théorème des probabilités totales :
  
  $p\left(A\right)=p\left(\overline{D} \cap A\right)+p\left(D \cap A\right)=\dfrac{1}{9}+\dfrac{5}{144}=\dfrac{16}{144}+\dfrac{5}{144}=\dfrac{21}{144}=\dfrac{7}{48}$
3. Ayant choisi au hasard l’un des deux dés et l’ayant lancé trois fois de suite, on a obtenu exactement deux 6. Quelle est la probabilité d’avoir choisi \le dé truqué est :
  
  $p_{A}\left(\overline{D}\right)=\dfrac{p\left(\overline{D} \cap A\right)}{p\left(A\right)}=\dfrac{\dfrac{1}{9}}{\dfrac{7}{48}}=\dfrac{1}{9}\times \dfrac{48}{7}=\dfrac{16}{21}$
1. L’évènement $\overline{B_{n}}$ contraire de $B_{n}$ est l’événement « n’obtenir aucun 6 parmi ces $n$ lancers successifs ».
  
  $p\left(\overline{B_{n}}\right)=p\left(\overline{B_{n}} \cap D\right)+p\left(\overline{B_{n}} \cap \overline{D}\right)=p_{D}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(D\right)+p_{\overline{D}}\left(\overline{B_{n}}\right)\times p\left(\overline{D}\right)$
  
  $p\left(\overline{B_{n}}\right)=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n}+\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$
  
  Donc
  
  $p_{n}=1 – p\left(\overline{B_{n}}\right)=1 – \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} – \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}$
2. Comme $\dfrac{5}{6} < 1$ et $\dfrac{2}{3} < 1$:
  
  $\lim\limits_{n\rightarrow \infty } p_{n}=\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1 – \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{n} – \dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}=1$.
  
  Si on lance le dé « un très grand nombre de fois », on est « pratiquement assuré » d’obtenir au moins un 6 quel que soit le dé choisi.

Probabilités Lancers successifs – Bac S Pondichéry 2009

Exercice 4

Corrigé