On lance plusieurs fois un dé à six faces (numérotées de 1 à 6) bien équilibré.
On s’arrête :
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dès que le chiffre 6 est obtenu
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au 4ème lancer au plus tard (même si le chiffre 6 n’a pas été obtenu)
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Représenter cette expérience par un arbre pondéré.
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Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir le chiffre 6 au cours des 4 lancés.
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$X$ est la variable aléatoire qui comptabilise le nombre total de lancer avant l’arrêt.
Quelles sont les différentes valeurs possibles pour $X$?
Donner la loi de probabilité de $X$.
Corrigé
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$S$ est l’évènement : « on obtient le chiffre 6 » ;
$\overline{S}$ est l’évènement contraire. -
La probabilité de ne jamais obtenir de « 6 » au cours de cette expérience est :
$p=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}=\dfrac{625}{1296}$
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$X$ peut prendre les valeurs: 1, 2, 3, 4
$X=1$ si on obtient un 6 lors du premier lancer.
$p\left(X=1\right)=\dfrac{1}{6}$
$X=2$ si on n’obtient pas de 6 lors du premier lancer et si l’on en obtient un lors du second lancer.
$p\left(X=2\right)=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{36}$
De même :
$p\left(X=3\right)=\dfrac{5}{6}\times \dfrac{5}{6}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{25}{216}$
La somme des probabilité de toutes les issues étant égale à 1 :
$p\left(X=1\right)+p\left(X=2\right)+p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)=1$
Par conséquent :
$p\left(X=4\right)=1 – \dfrac{1}{6} – \dfrac{5}{36} – \dfrac{25}{216}=\dfrac{125}{216}$
On obtient donc le tableau suivant :
$x_{i}$ 1 2 3 4 $p\left(X=x_{i}\right)$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{5}{36}$ $\dfrac{25}{216}$ $\dfrac{125}{216}$