Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$.
$P$ est la parabole d’équation $y=x^{2}$
$D_{m}$ est la droite d’équation $8mx – 4y+1=0$ où $m\in \mathbb{R}$
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Montrer que pour tout $m\in \mathbb{R}$, $P$ et $D_{m}$ se coupent en deux points distincts $A_{m}$ et $B_{m}$.
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Calculer les coordonnées du point d’intersection $I_{m}$ des tangentes à la courbe $P$ aux points $A_{m}$ et $B_{m}$.
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Quel est l’ensemble des points $I_{m}$ lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$ ?
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Corrigé
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$M\left(x;y\right)$ est un point d’intersection de $P$ et de $D_{m}$ si et seulement si :
$$\begin{cases} y=x^{2} \\8mx – 4y+1=0 \end{cases}$$
On remplace $y$ par $x^2$ dans la seconde équation :
$8mx – 4x^{2}+1=0$
$- 4x^{2}+8mx+1=0$
$\Delta =\left(8m\right)^{2} – 4 \times ( – 4) \times 1=64m^{2}+16$
$\Delta$ est strictement positif donc l’équation a deux solutions distinctes :
$x_{1}=\dfrac{ – 8m+\sqrt{64m^{2}+16}}{ – 8}=\dfrac{ – 8m+4\sqrt{4m^{2}+1}}{ – 8}=m – \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}$
$x_{2}=m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}$
On a alors $y_{1}=x_{1}^{2}$ et $y_{2}=x_{2}^{2}$
$P$ et $D_{m}$ se coupent donc en deux points distincts $A_m\left( m – \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m – \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2} \right)$ et $B_m\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}\right)$
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Cas $m=1$
Comme $f\left(x\right)=x^{2}$, $f^{\prime}\left(x\right)=2x$.
L’équation de la \tangente à la parabole en $A_{m}$ a pour équation:
$y=f^{\prime}\left(x_{1}\right)\left(x – x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right)$
c’est à dire
$y=2x_{1}\left(x – x_{1}\right)+x_{1}^{2}$
$y=2x_{1}x – x_{1}^{2}$
De même, l’équation de la \tangente à la parabole en $B_{m}$ a pour équation:
$y=2x_{2}x – x_{2}^{2}$
Pour trouver \les coordonnées de l’\intersection $I_{m}$ on résout \le système :
$$\left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x – x_{1}^{2} \\ y=2x_{2}x – x_{2}^{2} \end{matrix}\right.$$
Par substitution, il est équivalent à :
$$\left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x – x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x+x_{1}^{2}=2x_{2}x – x_{2}^{2} \end{matrix}\right.$$
La deuxième équation donne successivement :
$2x_{1}x – 2x_{2}x=x_{1}^{2} – x_{2}^{2}$
$2\left(x_{1} – x_{2}\right)x=\left(x_{1} – x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)$
$2x=x_{1}+x_{2}$
or $x_{1}+x_{2}=m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}+m – \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=2m$
donc l’équation devient:
$2x=2m$ c’est à dire $x=m$.
En remplaçant $x$ par $m$ dans la première équation du système on obtient :
$y=2mx_{1} – x_{1}^{2}=x_{1}\left(2m – x_{1}\right)$
$y=\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(2m – m – \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)$
$y=\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(m – \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)$
C’est une identité remarquable:
$y=m^{2} – \left(\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}=m^{2} – \dfrac{4m^{2}+1}{4}=\dfrac{4m^{2} – 4m^{2} – 1}{4}= – \dfrac{1}{4}$
Les coordonnées de $I_{m}$ sont donc $\left(m; – \dfrac{1}{4}\right)$.
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Lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$ l’abscisse de $I_{m}$ décrit $\mathbb{R}$ \tandis que son ordonnée est constante et égale à $- \dfrac{1}{4}$.
L’ensemble des points $I_{m}$ lorsque $m$ décrit $\mathbb{R}$ est donc la droite d’équation $y= – \dfrac{1}{4}$
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