Intersections de tangentes
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $.
$ P $ est la parabole d'équation $ y=x^{2} $
$ D_{m} $ est la droite d'équation $ 8mx - 4y+1=0 $ où $ m\in \mathbb{R} $
- Montrer que pour tout $ m\in \mathbb{R} $, $ P $ et $ D_{m} $ se coupent en deux points distincts $ A_{m} $ et $ B_{m} $.
- Calculer les coordonnées du point d'intersection $ I_{m} $ des tangentes à la courbe $ P $ aux points $ A_{m} $ et $ B_{m} $.
- Quel est l'ensemble des points $ I_{m} $ lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ ?
Corrigé
- $ M\left(x;y\right) $ est un point d'intersection de $ P $ et de $ D_{m} $ si et seulement si :
$ \begin{cases} y=x^{2} \\8mx - 4y+1=0 \end{cases} $
On remplace $ y $ par $ x^2 $ dans la seconde équation :
$ 8mx - 4x^{2}+1=0 $
$ - 4x^{2}+8mx+1=0 $
$ \Delta =\left(8m\right)^{2} - 4 \times ( - 4) \times 1=64m^{2}+16 $
$ \Delta $ est strictement positif donc l'équation a deux solutions distinctes :
$ x_{1}=\dfrac{ - 8m+\sqrt{64m^{2}+16}}{ - 8}=\dfrac{ - 8m+4\sqrt{4m^{2}+1}}{ - 8}=m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} $
$ x_{2}=m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} $
On a alors $ y_{1}=x_{1}^{2} $ et $ y_{2}=x_{2}^{2} $
$ P $ et $ D_{m} $ se coupent donc en deux points distincts $ A_m\left( m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2} \right) $ et $ B_m\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}\right) $ $\ $
Cas $ m=1 $Comme $ f\left(x\right)=x^{2} $, $ f^{\prime}\left(x\right)=2x $.
L'équation de la tangente à la parabole en $ A_{m} $ a pour équation:
$ y=f^{\prime}\left(x_{1}\right)\left(x - x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right) $
c'est à dire
$ y=2x_{1}\left(x - x_{1}\right)+x_{1}^{2} $
$ y=2x_{1}x - x_{1}^{2} $
De même, l'équation de la tangente à la parabole en $ B_{m} $ a pour équation:
$ y=2x_{2}x - x_{2}^{2} $
Pour trouver les coordonnées de l'intersection $ I_{m} $ on résout le système :
$ \left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ y=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right. $
Par substitution, il est équivalent à :
$ \left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x+x_{1}^{2}=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right. $
La deuxième équation donne successivement :
$ 2x_{1}x - 2x_{2}x=x_{1}^{2} - x_{2}^{2} $
$ 2\left(x_{1} - x_{2}\right)x=\left(x_{1} - x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) $
$ 2x=x_{1}+x_{2} $
or $ x_{1}+x_{2}=m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}+m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=2m $
donc l'équation devient:
$ 2x=2m $ c'est à dire $ x=m $.
En remplaçant $ x $ par $ m $ dans la première équation du système on obtient :
$ y=2mx_{1} - x_{1}^{2}=x_{1}\left(2m - x_{1}\right) $
$ y=\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(2m - m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right) $
$ y=\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right) $
C'est une identité remarquable:
$ y=m^{2} - \left(\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}=m^{2} - \dfrac{4m^{2}+1}{4}=\dfrac{4m^{2} - 4m^{2} - 1}{4}= - \dfrac{1}{4} $
Les coordonnées de $ I_{m} $ sont donc $ \left(m; - \dfrac{1}{4}\right) $.
- Lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ l'abscisse de $ I_{m} $ décrit $ \mathbb{R} $ tandis que son ordonnée est constante et égale à $ - \dfrac{1}{4} $.
L'ensemble des points $ I_{m} $ lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ est donc la droite d'équation $ y= - \dfrac{1}{4} $