Résoudre l’inéquation :
$\dfrac{4}{x – 1} \geqslant x+2$
Corrigé
Précisons tout d’abord que $\dfrac{4}{x – 1}$ est défini pour $x \neq 1$
$\dfrac{4}{x – 1} \geqslant x+2 \Leftrightarrow \dfrac{4}{x – 1} – \left(x + 2\right) \geqslant 0$
On réduit au même dénominateur :
$\phantom{\dfrac{4}{x – 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{4}{x – 1} – \dfrac{\left(x + 2\right)\left(x – 1\right)}{x – 1} \geqslant 0$
$\phantom{\dfrac{4}{x – 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{4 – \left(x^{2}+x – 2\right)}{x – 1} \geqslant 0$
$\phantom{\dfrac{4}{x – 1} \geqslant x+2 } \Leftrightarrow \dfrac{ – x^{2} – x+6}{x – 1} \geqslant 0$
Le numérateur est un polynôme du second degré dont les racines sont $2$ et $- 3$ (voir Calculatrice second degré)
$- x^{2} – x+6$ est du signe de $a \left(= – 1\right)$ donc négatif à « l’extérieur » des racines.
Le dénominateur $x – 1$ est un polynôme du premier degré dont le coefficient directeur est positif donc $x – 1$ est « négatif puis positif ».
On obtient le tableau de signes suivant :
L’ensemble des solutions est donc :
$S=\left] – \infty ; – 3\right] \cup \left]1 ; 2\right]$