[ROC] Formule d’Al-Kashi
Soit $ ABC $ est un triangle quelconque.
En utilisant la relation de Chasles , montrer la formule d'Al-Kashi :
$ BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} - 2 ~AB ~ AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) $
Corrigé
D'après la relation de Chasles $ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC} $. Par conséquent :
$ BC^{2}=\overrightarrow{BC}^{2}=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)^{2}=\overrightarrow{BA}^{2}+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{2}=\overrightarrow{BA}^{2} - 2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^{2} $
Or d'après la définition du produit scalaire :
$ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=||\overrightarrow{AB}||\times ||\overrightarrow{AC}||\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) $
Par conséquent :
$ BC^{2}=AB^{2}+AC^{2} - 2 AB\times AC \cos\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) $