Fonctions – Contour d’une piscine

Pour les besoins d’un centre de loisirs, un architecte élabore les plans d’une future piscine carrelée.

Le graphique ci-dessous présente le contour de cette piscine dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ d’unité 1 mètre.

$C_1$ est un demi-cercle de centre $O$ et de rayon $8$ ;

$C_2$ est un demi-cercle de centre $P(12 ; 0)$ et de rayon $6$. Les courbes $F_1$ et $F_2$ relient ces deux demi-cercles.

Le contour de la piscine est symétrique par rapport à l’axe des abscisses. On suppose, par ailleurs, que les tangentes à la courbe $F_1$ aux points $M(0;8)$ et $N(12;6)$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

Partie 1

1. La courbe $F_1$ est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur $[0;12]$.

   Quelles sont les valeurs de $f(0)$, $f(12)$ , $f^{\prime}(0)$, $f^{\prime}(12)$ ?

2. $f$ est définie sur $[0;12]$ par $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$.

   Déduire de la question précédente un système de quatre équations à quatre inconnues vérifié par $(a;b;c;d)$.

3. En déduire les valeurs de $a, b, c$ et $d$.

Partie 2

Dans la suite du problème on suppose que $f$ est définie sur $[0;12]$ par $f(x)=\dfrac{1}{432}x^3 – \dfrac{1}{24}x^2+8$.

1. Montrer que le milieu $I$ de $[MN]$ appartient à la courbe $F_1$

2. Donner une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $F_1$ au point $I$.

Partie 3

1. Dans le but de carreler le fond de la piscine, l’architecte cherche à estimer l’aire $\mathscr A$ de la surface située à l’intérieur de ce contour.

   On admet que l’aire de la surface délimitée par la courbe $F_1$ et les segments $[OM], [OP], [PN]$ est égale à l’aire du trapèze $OMNP$.

   Calculer l’aire $\mathscr A$ en $\text{m}^2$ (on arrondira au $\text{m}^2$ près).

2. La profondeur de la piscine sera constante et égale à $1,5\text{m}$.

   Quel sera, en $\text{m}^3$, le volume d’eau de la piscine ?

Partie 1

1. La courbe $F_1$ passe par le point $M(0;8)$ donc $f(0)=8$.

   La courbe $F_1$ passe par le point $N(12;6)$ donc $f(12)=6$.

   Rappel

   La tangente à $F_1$ au point d’abscisse $a$ est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si $f ^{\prime}(a)=0$

   La tangente à $F_1$ au point $M$ est parallèle à l’axe des abscisses donc $f ^{\prime}(0)=0$.

   La tangente à $F_1$ au point $N$ est parallèle à l’axe des abscisses donc $f ^{\prime}(12)=0$.

2. $f(0)=a\times 0^3+b \times 0^2+c \times 0+d=d$

   Donc d’après la question précédente $d=8$.

   De même :

   $f(12)=a\times 12^3+b \times 12^2+c \times 12+d$$=1728a+144b+12c+d$

   Donc $1728a+144b+12c+d=6$.

   $f ^{\prime}(x)=3ax^2+2bx+c$

   $f ^{\prime}(0)=3a \times 0^2+2b \times 0+c=c$

   Donc $c=0$.

   $f ^{\prime}(12)=3a \times 12^2+2b \times 12+c=432a+24b+c$

   Donc $432a+24b+c=0$.

   Le quadruplet $(a;b;c;d)$ est donc solution du système :

   $$\begin{cases} d=8 \\ 1728a+144b+12c+d=6 \\ c=0 \\ 432a+24b+c=0 \end{cases}$$

3. Les première et troisième équations donnent $c=0$ et $d=8$.

   En remplaçant $c$ par $0$ et $d$ par $8$ dans \les deux autres équations on obtient :

   $$(S) \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ 432a+24b=0 \end{cases}$$

   Ce système équivaut à :

   $$(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144b+8=6 \\ b= – 18a \end{cases}$$ 

   $$(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} 1728a+144 \times ( – 18a)= – 2 \\ b= – 18a \end{cases}$$ 

   $$(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} – 864a= – 2 \\ b= – 18a \end{cases}$$  

   $$(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\dfrac{2}{864} \\ \\ b= – 18 \times \dfrac{2}{864} \end{cases}$$  

   $$(S) \Leftrightarrow \ \begin{cases} a=\dfrac{1}{432} \\ \\ b= – \dfrac{1}{24} \end{cases}$$  

   Finalement $a=\dfrac{1}{432}, b= – \dfrac{1}{24}, c=0$ et $d=8$.

   Donc $f(x)=\dfrac{1}{432}x^3 – \dfrac{1}{24}x^2+8$.

Partie 2

1. Les coordonnées du point $I$ sont :

   $x_I=\dfrac{x_M+x_N}{2}=\dfrac{0+12}{2}=6$

   $y_I=\dfrac{y_M+y_N}{2}=\dfrac{8+6}{2}=7$

   Rappel

   Le point $I$ appartient à la courbe $F_1$ si et seulement si $f(x_I)=y_I$

   $f(6)=\dfrac{1}{432} \times 216 – \dfrac{1}{24} \times 36+8$$=0,5 – 1,5+8=7$

   $f(x_I)=y_I$ donc le milieu $I$ de $[MN]$ appartient à la courbe $F_1$.

2. L’équation réduite de la tangente à la courbe $F_1$ en $I$ est :

   $y=f ^{\prime}(6)(x – 6)+f(6)$

   $f ^{\prime}(x)=\dfrac{3}{432}x^2 – \dfrac{2}{24}x$$=\dfrac{x^2}{144} – \dfrac{x}{12}$

    

   $f^{\prime}(6)=\dfrac{36}{144} – \dfrac{6}{12}= – \dfrac{1}{4}$

   L’équation réduite de $(T)$ est donc :

   $y= – \dfrac{1}{4}(x – 6) – 7$

    

   $y= – \dfrac{1}{4}x+\dfrac{17}{2}$

   

Partie 3

1. On « découpe » l’aire $\mathscr A$ en quatre aires :

   • l’aire $\mathscr A_1$ du demi-disque de rayon $[OM]$

   • l’aire $\mathscr A_2$ du demi-disque de rayon $[PN]$

   • l’aire $\mathscr A_3$ du trapèze $OMNP$ et du trapèze symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

   $\mathscr A_1=\dfrac{1}{2}\pi OM^2=32\pi$

   $\mathscr A_2=\dfrac{1}{2}\pi PN^2=18\pi$

   Rappel

   L’aire d’un trapèze de bases $b$ et $B$ et de hauteur $h$ est $\mathscr A=\dfrac{b+B}{2} \times h$

   $\mathscr A_3=\dfrac{8+6}{2} \times 12$

   $\phantom{\mathscr A_3}=7 \times 12$

   $\phantom{\mathscr A_3}=84$

   L’aire totale est donc :

   $\mathscr A=\mathscr A_1+\mathscr A_2+2 \times \mathscr A_3$

   $\phantom{\mathscr A}=50\pi+168 \approx 325 \text{m}^2$

2. Le volume d’eau de la piscine est :

   $\mathscr V = 1,5 \times \mathscr A \approx 488 \text{m}^3$