Fonctions associées : Tableau de variations
[Pour cet exercice, on suppose que le chapitre "Dérivées" n'a pas encore été étudié et on n'utilisera pas cette notion]
Soit $ f $ une fonction définie sur $ \left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ $ dont le tableau de variations est le suivant :
On pose $ g=\dfrac{1}{f} $
- Quel est l'ensemble de définition de la fonction $ g $?
- Dressez le tableau de variations de la fonction $ g $.
Corrigé
$ g $ est définie si et seulement si :
- $ f $ est définie
- $ f $ est non nulle
La première condition est vérifiée pour $ x\neq 0 $.
Par ailleurs, le tableau de variation montre que $ f $ est strictement positive (car supérieure ou égale à $ 1 $) sur $ \left] - \infty ; 0\right[ $ et strictement négative (car inférieure ou égale à $ - 1 $) sur $ \left]0 ; +\infty \right[ $.
Donc $ f $ n'est jamais nulle sur $ \left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ $.
L'ensemble de définition de $ g $ est donc identique à celui de $ f $:
$ \mathscr D_{g}=\left] - \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[ $$ f $ ne s'annule pas et ne change pas de signe sur $ \left] - \infty ; 0\right[ $. $ g $ est l'inverse de $ f $ donc le sens de variations de $ g $ est contraire à celui de $ f $ sur $ \left] - \infty ; 0\right[ $. (voir cours)
Par un raisonnement analogue, on montre que le sens de variations de $ g $ est contraire à celui de $ f $ sur $ \left]0 ; +\infty \right[ $.
Enfin :
$ g\left( - 1\right)=\dfrac{1}{f\left( - 1\right)}=\dfrac{1}{1}=1 $ et $ g\left(2\right)=\dfrac{1}{f\left(2\right)}=\dfrac{1}{ - 1}= - 1 $
On obtient le tableau de variations suivant :
