[Pour cet exercice, on suppose que le chapitre « Dérivées » n’a pas encore été étudié et on n’utilisera pas cette notion]
Soit $f$ une fonction définie sur $\left] – \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[$ dont le tableau de variations est le suivant :
On pose $g=\dfrac{1}{f}$
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Quel est l’ensemble de définition de la fonction $g$?
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Dressez le tableau de variations de la fonction $g$.
$g$ est définie si et seulement si :
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$f$ est définie
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$f$ est non nulle
La première condition est vérifiée pour $x \neq 0$.
Par ailleurs, le tableau de variation montre que $f$ est strictement positive (car supérieure ou égale à $1$) sur $\left] – \infty ; 0\right[$ et strictement négative (car inférieure ou égale à $- 1$) sur $\left]0 ; +\infty \right[$.
Donc $f$ n’est jamais nulle sur $\left] – \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[$.
L’ensemble de définition de $g$ est donc identique à celui de $f$:
$\mathscr D_{g}=\left] – \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[$
$f$ ne s’annule pas et ne change pas de signe sur $\left] – \infty ; 0\right[$. $g$ est l’inverse de $f$ donc le sens de variations de $g$ est contraire à celui de $f$ sur $\left] – \infty ; 0\right[$. (voir cours)
Par un raisonnement analogue, on montre que le sens de variations de $g$ est contraire à celui de $f$ sur $\left]0 ; +\infty \right[$.
Enfin :
$g\left( – 1\right)=\dfrac{1}{f\left( – 1\right)}=\dfrac{1}{1}=1$ et $g\left(2\right)=\dfrac{1}{f\left(2\right)}=\dfrac{1}{ – 1}= – 1$
On obtient le tableau de variations suivant :
