Fonctions associées : Etude d’une fonction
[Pour cet exercice, on suppose que le chapitre Dérivées n'a pas encore été étudié et on n'utilisera pas cette notion]
Soit $ g $ la fonction définie sur $ \left] - \infty ; 1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ $ par :
- A partir des variations de la fonction $ x \mapsto \dfrac{1}{x} $, déduire les variations de la fonction $ g $. Tracez le tableau de variations de $ g $.
- Soit $ f $ la fonction définie sur $ \left] - \infty ; 1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ $ par $ f\left(x\right)=\dfrac{ - x^{2}+3x}{x - 1} $.
Montrer que pour tout réel $ x \in \left] - \infty ; 1\right[ \cup \left]1 ; +\infty \right[ $ :
$ f\left(x\right)= - x+2+\dfrac{2}{x - 1} $ - Déduire des questions précédentes le tableau de variations de $ f $.
- Soit $ C_{f} $ la courbe représentative de $ f $ dans un repère orthonormé $ \left(O, I, J\right) $.
Trouver les coordonnées des points d'intersection de $ C_{f} $ avec l'axe des abscisses et avec l'axe des ordonnées. - Préciser la position de la courbe $ C_{f} $ par rapport à l'axe des ordonnées.
- Soit $ \mathscr D $ la droite d'équation $ y= - x+2 $ Étudier la position de la courbe $ C_{f} $ par rapport à la droite $ \mathscr D $.
- Tracer $ \mathscr D $ et $ C_{f} $ dans le repère orthonormé $ \left(O, I, J\right) $.
Corrigé
La fonction $ g $ est définie par $ g(x) = \dfrac{2}{x-1} $.
On commence par la fonction de référence $ x \mapsto \dfrac{1}{x} $, qui est strictement décroissante sur $ ]-\infty ; 0[ $ et sur $ ]0 ; +\infty[ $.
Par translation de vecteur $ \vec{i} $, la fonction $ x \mapsto \dfrac{1}{x-1} $ conserve le même sens de variation sur les intervalles $ ]-\infty ; 1[ $ et $ ]1 ; +\infty[ $.
Enfin, multiplier par un coefficient positif ($ 2 $) ne change pas le sens de variation.
La fonction $ g $ est donc strictement décroissante sur $ ]-\infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $.
Pour tout réel $ x \neq 1 $, on développe l'expression proposée :
$ -x+2+\dfrac{2}{x-1} = \dfrac{(-x+2)(x-1)+2}{x-1} $$ = \dfrac{-x^2+x+2x-2+2}{x-1} = \dfrac{-x^2+3x}{x-1} $On retrouve bien l'expression de $ f(x) $.
On a donc bien $ f(x) = -x+2+\dfrac{2}{x-1} $ pour tout $ x \in D_f $.On peut écrire $ f(x) = u(x) + g(x) $ avec $ u(x) = -x+2 $.
La fonction $ u $ est une fonction affine de coefficient directeur $ -1 < 0 $. Elle est donc strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $.
La fonction $ g $ est aussi strictement décroissante sur $ ]-\infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $ (d'après la question 1).
La somme de deux fonctions strictement décroissantes est une fonction strictement décroissante.
Par conséquent, $ f $ est strictement décroissante sur $ ]-\infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $.
Intersection avec l'axe des ordonnées :
On calcule $ f(0) = \dfrac{-0^2+3\times 0}{0-1} = 0 $.
Le point d'intersection est l'origine du repère $ O(0 ; 0) $.Intersection avec l'axe des abscisses :
On résout $ f(x) = 0 \iff -x^2+3x = 0 \iff x(-x+3) = 0 $.
Les solutions sont $ x=0 $ and $ x=3 $.
Les points d'intersection sont $ O(0 ; 0) $ and $ A(3 ; 0) $.La courbe $ C_f $ coupe l'axe des ordonnées au point $ O(0 ; 0) $.
Pour $ x < 0 $, la courbe est située à gauche de l'axe des ordonnées.
Pour $ x > 0 $ (et $ x \neq 1 $), elle est située à droite.On étudie le signe de la différence $ f(x) - (-x+2) $.
D'après la question 2, on a :$ f(x) - (-x+2) = \dfrac{2}{x-1} $Le signe de cette différence est celui de $ x-1 $.
- Sur $ ]-\infty ; 1[ $, $ x-1 < 0 $, donc $ C_f $ est en dessous de $ \mathscr{D} $.
- Sur $ ]1 ; +\infty[ $, $ x-1 > 0 $, donc $ C_f $ est au-dessus de $ \mathscr{D} $.
Représentation graphique :
