Exercice 2 (5 points)
Une entreprise de menuiserie réalise des découpes dans des plaques rectangulaires de bois.
Dans un repère orthonormé d’unité 30 cm ci-dessous, on modélise la forme de la découpe dans la plaque rectangulaire par la courbe $\mathscr{C}_{ f }$ représentatif de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[ – 1~;~2 ]$ par :
$f( x )=( – x+2 )\text{e}^{ x }.$
Le bord supérieur de la plaque rectangulaire est tangent à la courbe $\mathscr{C}_{ f }$. On nomme $L$ la longueur de la plaque rectangulaire et $\mathscr{l}$ sa largeur.
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On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$.
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Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[ – 1~;~2 ]$ , $f^{\prime} ( x )=( – x+1 )\text{e}^{ x }.$
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En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[ – 1~;~2 ].$
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La longueur $L$ de la plaque rectangulaire est de 90 cm. Trouver sa largeur $\mathscr{l}$ exacte en centimètres.
Corrigé
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Pour calculer la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ on utilise la formule :
$( uv )^{\prime} =u^{\prime} v+uv^{\prime}$
où $u$ et $v$ sont les fonctions définies par :
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$u( x )= – x+2$
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$v( x )=\text{e}^{ x }$
On a alors :
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$u^{\prime} ( x )= – 1$
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$v^{\prime} ( x )=\text{e}^{ x }$
Par conséquent, pour tout réel $x$ de l’intervalle $\left[ – 1~;~2\right]$ :
$f^{\prime} ( x )= – \text{e}^{ x }+( – x+2 )\text{e}^{ x }$
$\phantom{f^{\prime} ( x )}=\text{e}^{ x }\left( – 1 – x+2 \right)$
$\phantom{f^{\prime} ( x )}=\left( – x+1 \right)\text{e}^{ x }.$ -
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Pour tout réel $x$, $\text{e}^{ x }$ est strictement positif ; donc $f^{\prime}$ est du signe de $- x+1$ c’est-à-dire :
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$f^{\prime}$ s’annule pour $x=1$
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$f^{\prime}$ est strictement positive pour $x < 1$
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$f^{\prime}$ est strictement négative pour $x > 1.$
On a par ailleurs :
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$f( – 1 )=( 1+2 )\text{e}^{ – 1 }=3\text{e}^{ – 1 }=\dfrac{ 3 }{ \text{e} }$
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$f( 1 )=( – 1+2 )\text{e}^{ 1 }=\text{e}$
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$f( 2)=( – 2 +2)\text{e}^{ 2 }=0$
On obtient alors le tableau de variation ci-dessous :
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Le maximum de la fonction $f$ est $f( 1 )=\text{e}$ ; son minimum est $f( 2 )=0$. La largeur de la plaque est donc $\text{e}$ unités. L’unité mesurant 30 cm, la largeur de la plaque est donc $l=30\text{e}$ centimètres (soit environ 81,5 cm mais c’est la valeur exacte qui est demandée…).