Fonctions linéaires et affines (Brevet 2010)
(D'après Brevet Pondichéry 2010)
Un disquaire en ligne propose de télécharger légalement de la musique.
- Offre A : 1,20€ par morceau téléchargé avec un accès gratuit au site.
- Offre B : 0,50€ par morceau téléchargé moyennant un abonnement annuel de 35€.
- Calculer, pour chaque offre, le prix pour 30 morceaux téléchargés par an.
- Exprimer, en fonction du nombre $ x $ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre A.
- Exprimer, en fonction du nombre $ x $ de morceaux téléchargés, le prix avec l'offre B
Soit $ f $ et $ g $ les deux fonctions définies par : $ f : x\mapsto 1,2x $ et $ g : x\mapsto 0,5x+35. $
- L'affirmation ci-dessous est-elle correcte ? Expliquer pourquoi. « $ f $ et $ g $ sont toutes les deux des fonctions linéaires ».
- Représenter sur la feuille de papier millimétré, dans un repère orthogonal les représentations graphiques des fonctions $ f $ et $ g $. On prendra 1 cm pour 10 morceaux en abscisse et 1 cm pour 10€ en ordonnée
- Déterminer le nombre de morceaux pour lequel les prix sont les mêmes.
- Déterminer l'offre la plus avantageuse si on achète 60 morceaux à l'année.
- Si on dépense 80€, combien de morceaux peut-on télécharger avec l'offre B ?
Corrigé
- Pour 30 morceaux :
- Offre A : $ 1,20 \times 30 = 36 $.
Le prix est de 36 €. - Offre B : $ 0,50 \times 30 + 35 = 15 + 35 = 50 $.
Le prix est de 50 €. Expressions des fonctions :
Le prix avec l'offre A est proportionnel au nombre de morceaux téléchargés.
Pour $ x $ morceaux, le prix est donné par :
$ f(x) = 1,2x $Le prix avec l'offre B comprend un abonnement fixe de 35 € plus 0,50 € par morceau.
Pour $ x $ morceaux, le prix est donné par :
$ g(x) = 0,5x + 35 $
Étude des fonctions :
- La fonction $ f $ est de la forme $ ax $ avec $ a=1,2 $.
C'est donc une fonction linéaire.
La fonction $ g $ est de la forme $ ax+b $ avec $ a=0,5 $ et $ b=35 $.
C'est une fonction affine.
Elle n'est pas linéaire car $ b \neq 0 $.
L'affirmation est donc fausse. Représentation graphique :
Pour $ f $ (fonction linéaire), la représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère.
On calcule un deuxième point pour le tracé.
Pour $ x=50 $, $ f(50) = 1,2 \times 50 = 60 $.
La droite passe par les points $ (0;0) $ et $ (50; 60) $.
Pour $ g $ (fonction affine), la représentation graphique est une droite ne passant pas par l'origine.
L'ordonnée à l'origine est 35, donc elle passe par $ (0; 35) $.
On calcule un deuxième point.
Pour $ x=50 $, $ g(50) = 0,5 \times 50 + 35 = 60 $.
La droite passe par les points $ (0; 35) $ et $ (50; 60) $.
- La fonction $ f $ est de la forme $ ax $ avec $ a=1,2 $.
On cherche le nombre de morceaux $ x $ pour lequel les prix sont identiques, c'est-à-dire $ f(x) = g(x) $.
On résout l'équation :
$ 1,2x = 0,5x + 35 $On regroupe les termes en $ x $ :
$ 1,2x - 0,5x = 35 $$ 0,7x = 35 $$ x = \dfrac{35}{0,7} = 50 $Les prix sont donc les mêmes pour 50 morceaux.
On compare les prix pour 60 morceaux téléchargés.
Offre A :
$ f(60) = 1,2 \times 60 = 72 $Le coût est de 72 €.
Offre B :
$ g(60) = 0,5 \times 60 + 35 = 30 + 35 = 65 $Le coût est de 65 €.
65 < 72, donc l'offre B est la plus avantageuse pour 60 morceaux.
On cherche combien de morceaux on peut télécharger avec 80 € selon l'offre B.
On résout l'équation $ g(x) = 80 $ :
$ 0,5x + 35 = 80 $On isole $ x $ :
$ 0,5x = 80 - 35 $$ 0,5x = 45 $$ x = \dfrac{45}{0,5} $$ x = 90 $Avec 80 €, on peut télécharger 90 morceaux avec l'offre B.