Fiche de révision BAC : probabilités discrètes

Quelle formule donne $p_B (A)$ ? Quelle est la différence entre $p_B (A)$ et $p(A \cap B)$ ?

$p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ (formule des probabilités conditionnelles).

${p(A\cap B)}$ est la probabilité que $A$ et $B$ se réalisent (alors que l’on ne sait pas a priori si $A$ ou si $B$ est réalisé) tandis que
${p_B(A)}$ est la probabilité que $A$ se réalise alors que l’on sait que $B$ est réalisé.

Quand dit-on que deux événements sont indépendants ?

$A$ et $B$ sont deux événements indépendants si et seulement si :

$p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$.

Si la probabilité de $B$ est non nulle cela équivaut à $P_B(A)=p(A)$.

Intuitivement, cela revient à dire que la réalisation de $B$ n’a aucune influence sur la réalisation de $A$ (et réciproquement).

Quelle est la formule des probabilités totales ?

Pour deux événements $A$ et $B$ :

$p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B})$.

Plus généralement, si les événements $B_1, B_2, \cdots , B_n$ forment une partition de l’univers alors, pour tout événement $A$ :

$p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2)$$+\cdots+p(A\cap B_n).$

Qu’est ce que la « loi de probabilité » d’une variable aléatoire discrète ?

La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète $X$, généralement présentée sous forme d’un tableau, donne les probabilités de chacune des valeurs possibles $x_i$ de $X$.

Comment calcule-t-on l’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète ? sa variance ? son écart-type ?

Si $X$ prend les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$  ;

Espérance mathématique :

$E\left(X\right)= x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+. . . +x_{n}\times p_{n}$$= \sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i}$

Variance :

$V\left(X\right)=E\left(\left(X – \overline X\right)^{2}\right)$

Ecart-type :

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}$

Quand dit-on qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$ ?

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$ de paramètres $n$ et $p$, si  :

• l’expérience est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes;

• chacune de ces épreuve de Bernoulli possède deux et uniquement issues :

  • succès, de probabilité $p$;

  • échec, de probabilité $1 – p$ ;

• la variable aléatoire $X$ est égal au nombre de succès.

Quelle est l’espérance mathématique d’une loi binomiale ? sa variance ?

$E(X)=np$

$V(X)=np(1 – p)$

Quelle formule donne $p(X=k)$ lorsque $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$ ?
$$P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k} \left(1 – p\right)^{n – k}$$