Fiche de révision BAC : probabilités discrètes

Réponses

1. Quelle formule donne $ p_B (A) $ ? Quelle est la différence entre $ p_B (A) $ et $ p(A \cap B) $ ?
   
   $ p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)} $ (formule des probabilités conditionnelles).
   
   $ {p(A\cap B)} $ est la probabilité que $ A $ et $ B $ se réalisent (alors que l'on ne sait pas a priori si $ A $ ou si $ B $ est réalisé) tandis que $ {p_B(A)} $ est la probabilité que $ A $ se réalise alors que l'on sait que $ B $ est réalisé.
2. Quand dit-on que deux événements sont indépendants ?
   
   $ A $ et $ B $ sont deux événements indépendants si et seulement si :
   
   $ p(A \cap B) = p(A) \times p(B) $.
   
   Si la probabilité de $ B $ est non nulle cela équivaut à $ P_B(A)=p(A) $.
   
   Intuitivement, cela revient à dire que la réalisation de $ B $ n'a aucune influence sur la réalisation de $ A $ (et réciproquement).
3. Quelle est la formule des probabilités totales ?
   
   Pour deux événements $ A $ et $ B $ :
   
   $ p(A)= p(A\cap B)+p(A\cap \overline{B}) $.
   
   Plus généralement, si les événements $ B_1, B_2, \cdots , B_n $ forment une partition de l'univers alors, pour tout événement $ A $ :
   
   $ p(A)= p(A\cap B_1)+p(A\cap B_2) +\cdots+p(A\cap B_n). $
4. Qu'est ce que la « loi de probabilité » d'une variable aléatoire discrète ?
   
   La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète $ X $, généralement présentée sous forme d'un tableau, donne les probabilités de chacune des valeurs possibles $ x_i $ de $ X $.
5. Comment calcule-t-on l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète ? sa variance ? son écart-type ?
   
   Si $ X $ prend les valeurs $ x_i $ avec les probabilités $ p_i $  ;
   
   Espérance mathématique :
   
   $ E\left(X\right)= x_{1}\times p_{1}+x_{2}\times p_{2}+. . . +x_{n}\times p_{n} = \sum_{i=1}^{n}p_{i} x_{i} $
   
   Variance :
   
   $ V\left(X\right)=E\left(\left(X - \overline X\right)^{2}\right) $
   
   Ecart-type :
   
   $ \sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)} $

6. Quand dit-on qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale $ \mathscr{B}(n~;~p) $ ?

   Une variable aléatoire $ X $ suit une loi binomiale $ \mathscr{B}(n~;~p) $ de paramètres $ n $ et $ p $, si  :

   • l'expérience est la répétition de $ n $ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes;

   • chacune de ces épreuve de Bernoulli possède deux et uniquement issues :

     • succès, de probabilité $ p $;
     • échec, de probabilité $ 1 - p $ ;
   • la variable aléatoire $ X $ est égal au nombre de succès.
7. Quelle est l'espérance mathématique d'une loi binomiale ? sa variance ?
   
   $ E(X)=np $
   
   $ V(X)=np(1 - p) $
8. Quelle formule donne $ p(X=k) $ lorsque $ X $ suit une loi binomiale $ \mathscr{B}(n~;~p) $ ? $ P\left(X=k\right)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k} \left(1 - p\right)^{n - k} $