Fiche de révision BAC : les nombres complexes

Quelle est la forme algébrique d’un nombre complexe ? Quelle est la partie réelle ? La partie imaginaire ?

La forme algébrique d’un nombre complexe $z$ est $z=x+iy$ (ou $z=a+ib$…) où $x$ et $y$ sont deux réels.
$x$ est la partie réelle de $z$ et $y$ sa partie imaginaire.

Qu’est-ce que le conjugué d’un nombre complexe ?

Le conjugué de $z=x+iy$ est le nombre complexe $\overline{z}=x – iy$.

Comment représente-t-on graphiquement un nombre complexe ?

Dans un repère orthonormé, on représente ee nombre complexe $z=x+iy$ par le point $M(x~;~y)$.
On dit que $M$ est l’image de $z$ et que $z$ est l’affixe de $M$.

Qu’est-ce que le module et un argument d’un nombre complexe ? Comment s’interprètent-ils graphiquement  ?

Si le plan est rapporté au repère $(O~;~\vec{u},~\vec{v})$, le module de $z$ d’image $M$ est la distance $OM$ :
$|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$

Un argument $\theta$ de $z$ (pour $z$ non nul) est une mesure, en radians, de l’angle $( \vec{u}~;~\vec{OM})$.
On a $\cos \theta = \dfrac{x}{|z|}$ et $\sin \theta = \dfrac{y}{|z|}$

Quelles sont les propriétés des conjugués, des modules et des arguments (produit, etc…) ?

$z$, $z_1$, $z_2$ désignent des nombres complexes quelconques et $n$ un entier relatif.
Conjugués :

• $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2}$

• $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\times \overline{z_2}$

• $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ (si $z_2 \neq 0$)

• $\overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n}$.

Modules :

• $|z_1z_2| = |z_1|\times |z_2|$

• $|\dfrac{z_1}{z_2}| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ (si $z_2 \neq 0$)

• $|z_1+z_2| \leqslant |z_1| + |z_2|$ (inégalité triangulaire)

Arguments :

• $\arg\left(\overline{z}\right)= – \arg\left(z\right)$

• $\arg\left(z_1z_2\right)=\arg\left(z_1\right)+\arg\left(z_2\right)$

• $\arg\left(z^{n}\right)=n\times \arg\left(z\right)$

• $\arg\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg\left(z_1\right) – \arg\left(z_2\right)$

Comment obtient-on la forme trigonométrique d’un nombre complexe ? La forme exponentielle ?

La forme trigonométrique d’un nombre complexe $z$ de module $r$ et dont un argument est $\theta$ est :
$z=r(\cos \theta + i \sin \theta)$.

La forme exponentielle est :
$z=r\text{e}^{i\theta}$

Comment s’obtient la distance $AB$ à partir des affixes des points $A$ et $B$ ?

Si $A$ et $B$ ont pour affixes respectives $z_A$ et $z_B$ :
$AB=\left|z_B – z_A\right|$

Quels sont les arguments possibles pour un nombre réel ? un nombre imaginaire pur ?

Un nombre réel non nul a pour argument $0~(\text{mod.}~2\pi)$ (s’il est positif) ou $\pi~(\text{mod.}~2\pi)$ (s’il est négatif).
Un nombre imaginaire pur non nul a pour argument $\dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi)$ (si sa partie imaginaire est positive) ou $- \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi)$ (si sa partie imaginaire est négative)

Quelles sont, dans $\mathbb{C}$, les solutions de l’équation $az^2+bz+c=0$ ?

Si $\Delta$ est positif ou nul, on retrouve les solutions réelles.
Si $\Delta$ est strictement négatif, l’équation possède deux solutions conjuguées :
$z_{1}=\dfrac{ – b – i\sqrt{ – \Delta }}{2a}$
$z_{2}=\dfrac{ – b+i\sqrt{ – \Delta }}{2a}$.

Rappels de collège utiles pour certains exercices portant sur les nombres complexes.

$A$ et $B$ désignent des points du plan.

Quel est l’ensemble des points $M$ tels que $AM=BM$ ?

L’ensemble des points $M$ tels que $AM=BM$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

Quel est l’ensemble des points $M$ tels que $AM=k$ (où $k$ est un réel donné) ?

L’ensemble des points $M$ tels que $AM=k$ est :

• le cercle de centre $A$ et de rayon $k$ si $k > 0$

• le point $A$ si $k = 0$

• l’ensemble vide si $k < 0$

Quel est l’ensemble des points $M$ tels que $(\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi)$ ?

l’ensemble des points $M$ tels que $(\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi)$ est le cercle de diamètre $[AB]$ privé des points $A$ et $B$ (pour lesquels l’angle $(\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})$ n’est pas défini).