Famille de fonctions
On considère les fonctions $ f_n $ définies sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ par :
où $ n $ est un entier relatif quelconque.
On note $ (C_n) $ la courbe représentative de $ f_n $ dans un repère orthonormal $ (O;I,J) $.
- Montrer que pour tout entier $ n $, la courbe $ (C_n) $ passe par le point $ A(0; - 1) $.
- Caractériser la courbe $ (C_{1}) $ représentant la fonction $ f_{1} $.
- Déterminer, suivant les valeurs de $ n $, le sens de variation de la fonction $ f_n $.
- Tracer les courbes $ (C_{0}) $, $ (C_{1}) $ et $ (C_{2}) $ dans le même repère.
- On note $ (T_n) $ la tangente à la courbe $ (C_{n}) $ au point $ A $.
Donner les équations des droites $ (T_{0}) $ et $ (T_{2}) $ et tracer ces droites sur la figure précédente.
Corrigé
Rappel
Pour montrer que la courbe représentative d'une fonction $ f $ passe par un point $ A(x_A;y_A) $, il suffit de montrer que $ f(x_A)=y_A $Pour tout entier $ n $ :
$ f_n(0)=\dfrac{1 - n \times 0}{0 - 1}=\dfrac{1}{ - 1}= - 1 $
Donc la courbe $ (C_n) $ passe par le point $ A $ de coordonnées $ A(0; - 1) $.
Pour $ n=1 $ et $ x \in \mathbb{R} \backslash \{1\} $ on obtient :
$ f_1(x)=\dfrac{1 - x}{x - 1}==\dfrac{ - (x - 1)}{x - 1}= - 1 $
La fonction $ f_1 $ est donc constante et égale à $ - 1 $ sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $.
Il faut toutefois faire attention au fait que $ f_1 $ n'est pas définie pour $ x=1 $. La courbe $ (C_1) $ est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point $ A(0; - 1) $ (d'après la question précédente) dont on a retiré le point d'abscisse $ 1 $ (voir figure à la question 4.).
$ f_n $ est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.
$ f_n $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec :
$ u(x)=1 - nx $ donc $ u^{\prime}(x)= - n $
$ v(x)=x - 1 $ donc $ v^{\prime}(x)=1 $
On obtient alors :
$ f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x) - u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2} =\dfrac{ - n(x - 1) - (1 - nx)}{(x - 1)^2}=\dfrac{n - 1}{(x - 1)^2} $
$ f^{\prime} $ est du signe de $ n - 1 $ :
- si $ n < 1 $, $ f^{\prime} $ est négative sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ donc $ f $ est décroissante sur $ ] - \infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $
- si $ n > 1 $, $ f^{\prime} $ est positive sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $ donc $ f $ est croissante sur $ ] - \infty ; 1[ $ et sur $ ]1 ; +\infty[ $
- si $ n=1 $, $ f $ est constante sur $ \mathbb{R} \backslash \{1\} $. Ce cas a été traité à la question précédente.
- Voir graphique ci-dessous.
L'équation de la tangente à $ (C_0) $ au point $ A $ d'abscisse $ 0 $ est :
$ y=f_0^{\prime}(0)(x - 0)+f_0(0) $
Or $ f_0(0)= - 1 $ (d'après la question 1.)
et $ f_0^{\prime}(x)= - \dfrac{1}{(x - 1)^2} $ (d'après la question 3.) donc $ f^{\prime}_0(0)= - 1 $
L'équation de $ (T_0) $ est donc
$ y= - x - 1 $
De même, l'équation de $ (T_2) $ est :
$ y=f_2^{\prime}(0)(x - 0)+f_2(0) $
avec $ f_2(0)= - 1 $ et $ f_2^{\prime}(x)=\dfrac{1}{(x - 1)^2} $ donc $ f^{\prime}_2(0)=1 $
L'équation de $ (T_2) $ est donc
$ y=x - 1 $
Les droites $ (T_0) $ et $ (T_2) $ sont représentées ci-dessous :
