Famille de fonctions

On considère les fonctions $f_n$ définies sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ par :

où $n$ est un entier relatif quelconque.

On note $(C_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans un repère orthonormal $(O;I,J)$.

1. Montrer que pour tout entier $n$, la courbe $(C_n)$ passe par le point $A(0; – 1)$.

2. Caractériser la courbe $(C_{1})$ représentant la fonction $f_{1}$.

3. Déterminer, suivant les valeurs de $n$, le sens de variation de la fonction $f_n$.

4. Tracer les courbes $(C_{0})$, $(C_{1})$ et $(C_{2})$ dans le même repère.

5. On note $(T_n)$ la tangente à la courbe $(C_{n})$ au point $A$.

   Donner les équations des droites $(T_{0})$ et $(T_{2})$ et tracer ces droites sur la figure précédente.

1. Rappel

   Pour montrer que la courbe représentative d’une fonction $f$ passe par un point $A(x_A;y_A)$, il suffit de montrer que $f(x_A)=y_A$

   Pour tout entier $n$ :

   $f_n(0)=\dfrac{1 – n \times 0}{0 – 1}=\dfrac{1}{ – 1}= – 1$

    

   Donc la courbe $(C_n)$ passe par le point $A$ de coordonnées $A(0; – 1)$.

2. Pour $n=1$ et $x \in \mathbb{R} \backslash \{1\}$ on obtient :

   $f_1(x)=\dfrac{1 – x}{x – 1}==\dfrac{ – (x – 1)}{x – 1}= – 1$

   La fonction $f_1$ est donc constante et égale à $- 1$ sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$.

   Il faut toutefois faire attention au fait que $f_1$ n’est pas définie pour $x=1$. La courbe $(C_1)$ est donc la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point $A(0; – 1)$ (d’après la question précédente) dont on a retiré le point d’abscisse $1$ (voir figure à la question 4.).

3. $f_n$ est dérivable sur son ensemble de définition comme quotient de fonctions dérivables.

   $f_n$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :

   $u(x)=1 – nx$ donc $u^{\prime}(x)= – n$

   $v(x)=x – 1$ donc $v^{\prime}(x)=1$

   On obtient alors :

   $f^{\prime}(x)=\dfrac{u^{\prime}(x)v(x) – u(x)v(x)^{\prime}}{v(x)^2}$$=\dfrac{ – n(x – 1) – (1 – nx)}{(x – 1)^2}=\dfrac{n – 1}{(x – 1)^2}$

   $f^{\prime}$ est du signe de $n – 1$ :

   • si $n < 1$, $f^{\prime}$ est négative sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ donc $f$ est décroissante sur $] – \infty ; 1[$ et sur $]1 ; +\infty[$

   • si $n > 1$, $f^{\prime}$ est positive sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$ donc $f$ est croissante sur $] – \infty ; 1[$ et sur $]1 ; +\infty[$

   • si $n=1$, $f$ est constante sur $\mathbb{R} \backslash \{1\}$. Ce cas a été traité à la question précédente.

4. Voir graphique ci-dessous.

5. L’équation de la tangente à $(C_0)$ au point $A$ d’abscisse $0$ est :

   $y=f_0^{\prime}(0)(x – 0)+f_0(0)$

   Or $f_0(0)= – 1$ (d’après la question 1.)

   et $f_0^{\prime}(x)= – \dfrac{1}{(x – 1)^2}$ (d’après la question 3.) donc $f^{\prime}_0(0)= – 1$

   L’équation de $(T_0)$ est donc

   $y= – x – 1$

   De même, l’équation de $(T_2)$ est :

   $y=f_2^{\prime}(0)(x – 0)+f_2(0)$

   avec $f_2(0)= – 1$ et $f_2^{\prime}(x)=\dfrac{1}{(x – 1)^2}$ donc $f^{\prime}_2(0)=1$

   L’équation de $(T_2)$ est donc

   $y=x – 1$

   Les droites $(T_0)$ et $(T_2)$ sont représentées ci-dessous :