Soit $m$ un nombre réel donné et $f_{ m }$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
$f_{ m } (x) = \dfrac{ x^2 +m }{ x^2 +1 }$
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Justifier que la fonction $f_{ m }$ est bien définie sur $\mathbb{R} .$
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Étudier la parité de la fonction $f_{ m } .$
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Calculer $f^{\prime}_{ m } (x)$ pour tout réel $x$.
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Dans cette question, on suppose $m < 1.$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f_{ m } .$ -
Même question si $m > 1.$
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Que peut-on dire de la fonction $f_{ 1 }$ (obtenue pour $m=1$ ) ?
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Corrigé
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Pour montrer que la fonction $f_{ m }$ est définie sur $\mathbb{R}$, il suffit de montrer que son dénominateur ne s’annule pas sur $\mathbb{R} .$
Or, pour tout réel $x$, $x^2 \geqslant 0$ donc $x^2 +1 \geqslant 1.$
$x^2 + 1$ n’est donc jamais nul sur $\mathbb{R}.$ -
$f_{ m } ( – x) = \dfrac{ ( – x) ^2 +m }{ ( – x) ^2 +1 } = \dfrac{ x^2 +m }{ x^2 +1 } =f_{ m } (x) .$
La fonction $f_{ m }$ est donc paire quelle que soit la valeur de $m.$
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Posons : $u (x) =x^2 +m$ et $v (x) =x^2 +1$.
Alors : $u^{\prime} (x) =2x$ et $v^{\prime} (x) =2x$
Par conséquent :
$f^{\prime} _{ m } (x) = \dfrac{ u^{\prime} (x) v (x) – u (x) v^{\prime} (x) }{ v (x) ^2 }$
$\phantom{ f^{\prime} _{ m } (x) } = \dfrac{ 2x (x^2 +1) – 2x (x^2 +m) }{ \left( x^2 +1 \right) ^2 }$
$\phantom{ f^{\prime} _{ m } (x) } = \dfrac{ 2x ( 1 – m) }{ \left( x^2 +1 \right) ^2 } .$
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$\left( x^2 +1 \right) ^2$ est strictement positif quel que soit le réel $x.$
Si $m < 1$, alors $1 - m$ est strictement positif ; $f^{\prime} _{ m } (x)$ est donc du signe de $x$.
$f_{ m }$ admet donc un maximum pour $x=0$ ; ce maximum est égal à :
$f_{ m } (0) = \dfrac{ 0^2 +m }{ 0^2 +1 } =m$
D’où le tableau de variations :
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Par contre, si $m > 1$, $1 – m$ est strictement négatif ; $f^{\prime} _{ m } (x)$ est donc du signe opposé à $x$.
$f_{ m }$ admet donc un maximum pour $x=0$ ; le tableau de variations est alors :
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Pour $m=1$ :
$f_{ 1 } (x) = \dfrac{ x^2 +1 }{ x^2 +1 } =1$
La fonction $f_{ 1 }$ est donc constante et égale à 1 sur $\mathbb{R} .$
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