Extrait d’un exercice du Bac S Pondichéry 2013.
Le sujet complet (qui nécessite l’étude des chapitres Logarithme népérien et Primitives/intégrales) est disponible ici : Bac S Pondichéry 2013
Partie 1
On s’intéresse à l’évolution de la hauteur d’un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
On décide de modéliser cette croissance par une fonction logistique du type :
$h\left(t\right)= \dfrac{a}{1+be^{ – 0,04t}}$
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles positives, $t$ est la variable temps exprimée en jours et $h\left(t\right)$ désigne la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu’initialement, pour $t=0$, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m.
Déterminer les constantes $a$ et $b$ afin que la fonction $h$ corresponde à la croissance du plant de maïs étudié.
Partie 2
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction $f$ définie sur $\left[0 ; 250\right]$ par
$f\left(t\right)=\dfrac{2}{1+19e^{ – 0,04t}}$
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Déterminer $f^{\prime}\left(t\right)$ en fonction de $t$ ($f^{\prime}$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$).
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[0 ; 250\right]$.
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On s’intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée de la fonction $f$.
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de $t$.
En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée de celle-ci. Estimer alors la hauteur du plant.
Corrigé
Partie 1
D’après l’énoncé, la hauteur tend vers une hauteur limite de 2 m donc :
$\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }h\left(t\right)=2$
Or $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }\dfrac{a}{1+be^{ – 0.04t}}=a$ (puisque $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty }e^{ – 0.04t}=0$)
Donc $a=2$.
Par ailleurs, pour $t=0$, le plant mesure 0,1 m donc $h\left(0\right)=0,1$, c’est à dire:
$\dfrac{a}{1+b}=0,1$
$0,1b=a – 0,1$
$0,1b=1,9$
$b=19$
On a donc :
$f\left(t\right)=\dfrac{2}{1+19e^{ – 0,04t}}$
Partie 2
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La dérivée de $\dfrac{1}{u}$ est $- \dfrac{u^{\prime}}{u^{2}}$ donc :
$f^{\prime}\left(t\right)= – \dfrac{2\times 19\times \left( – 0,04e^{ – 0,04t}\right)}{\left(1+19e^{ – 0,04t}\right)^{2}}=\dfrac{1,52e^{ – 0,04t}}{\left(1+19e^{ – 0,04t}\right)^{2}}$
Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs sur $\left[0 ; 250\right]$ donc $f$ est strictement croissante sur $\left[0 ; 250\right]$
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La vitesse de croissance est maximale lorsque la pente de la tangente à la courbe est maximale. Sur le graphique, on voit que ceci est obtenu pour $t$ proche de 70 jours. La hauteur du plant est alors d’environ 1m.