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edit_note Exercices 55 min
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Espérance mathématique maximale

Une urne contient $ n $ boules blanches et $ 2n $ boules rouges (avec $ n \geqslant 1 $).

On tire au hasard et sans remise, trois boules de l'urne.

  1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

  2. On considère le jeu suivant :

    • Si toutes les boules tirées sont blanches, le joueur perd 16 euros.
    • Si toutes les boules tirées sont rouges, le joueur gagne 2 euros.
    • Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.

    On note $ X $ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.

    Déterminer la loi de probabilité de $ X $.

    Calculer l'espérance mathématique $ E(X) $.

  3. Soit la fonction $ f $ définie sur $ \left[1~;~+\infty\right[ $ par $ f(x)=\dfrac{x - 1}{(3x - 1)(3x - 2)} $.

    1. Etudier les variations de la fonction $ f $.
    2. Combien de boules doit contenir l'urne pour que l'espérance mathématique $ E(X) $ soit maximale ?

      Quelle est alors la valeur de cette espérance mathématique ?

Corrigé

  1. Pour ne pas surcharger la figure, seules les probabilités utilisées lors des questions suivantes ont été indiquées.

    Arbre pondéré
    • Au premier niveau (tirage de la première boule), l'urne contient $ n $ boules blanches sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc $ \dfrac{n}{3n} = \dfrac{1}{3} $.

      L'urne contient $ 2n $ boules rouges sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $ \dfrac{2n}{3n} = \dfrac{2}{3} $.

    • Au second niveau (tirage de la seconde boule) :

      • Si l'on a tiré une boule blanche en premier , il reste alors $ n - 1 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 1}{3n - 1} $.
      • ...
      • Si l'on a tiré une boule rouge en premier , il reste alors $ 2n - 1 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 1}{3n - 1} $.

    • Au troisième niveau (tirage de la troisième boule) :

      • Si l'on a tiré deux boules blanches lors des deux premiers tirages, il reste alors $ n - 2 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 2}{3n - 2} $.
      • ...
      • Si l'on a tiré deux boules rouges lors des deux premiers tirages, il reste alors $ 2n - 2 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $.

  2. $ X $ prend la valeur -16 si les trois boules sont blanches, c'est à dire avec une probabilité :

    $ p(X= - 16)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{n - 2}{3n - 2} $

    $ p(X= - 16)=\dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ X $ prend la valeur -2 si les trois boules sont rouges, c'est à dire avec une probabilité :

    $ p(X=2)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $

    $ p(X=2)=\dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    Dans les autres cas $ X $ prend la valeur $ 0 $.

    Le total des probabilités étant égal à $ 1 $ on obtient :

    $ p(X=0)=1 - p(X= - 16) - p(X=2) $

    $ p(X=0)=1 - \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} - \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ p(X=0)=\dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $

    La loi de probabilité de $ X $ est donc :

    $ x_i $ $ - 16 $ $ 0 $ $ 2 $
    $ p(X=x_i) $ $ \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $ $ \dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $ $ \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    L'espérance mathématique de $ X $ est :

    $ E(X)= - 16\times p(X= - 16)+0 \times p(X=0)+2 \times p(X=2) $

    $ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{n^2 - 3n+2}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{8n^2 - 12n+4}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ \phantom{E(X)}=\dfrac{24n - 24}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

    $ \phantom{E(X)}=\dfrac{8(n - 1)}{(3n - 1)(3n - 2)} $

    1. La fonction $ f $ est définie et dérivable sur $ \left[1;+\infty \right[ $.

      $ f $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec

      $ u(x)=x - 1 $ donc $ u ^{\prime}(x)=1 $

      $ v(x)=(3x - 1)(3x - 2)=9x^2 - 9x+2 $ donc $ v^{\prime}(x) = 18x - 9 $

      Par conséquent :

      $ f^{\prime}(x)=\dfrac{9x^2 - 9x+2 - (x - 1)(18x - 9)}{(3x - 1)(3x - 2))^2} $

      $ f^{\prime}(x)=\dfrac{ - 9x^2+18x - 7}{((3x - 1)(3x - 2))^2} $

      Le dénominateur est positif et le numérateur est un polynôme du second degré.

      $ \Delta = 18^2 - 4 \times 7 \times 9=72 > 0 $

      Le numérateur admet deux racines :

      $ x_1 = \dfrac{ - 18+6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3 - \sqrt{2}}{3} $

      $ x_2 = \dfrac{ - 18 - 6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3+\sqrt{2}}{3} $

      $ x_1 $ est inférieur à $ 1 $ et $ x_2 \approx 1,47 \in \left[1;+\infty \right[ $.

      On obtient le tableau de variations suivant sur $ \left[1;+\infty \right[ $ :

      Espérance mathématique maximale
    2. D'après la question 2., $ E(X)=8f(n) $

      L'espérance mathématique est donc maximale pour la valeur de $ n $ qui maximise $ f(n) $.

      D'après la question précédente $ f $ est décroissante sur $ \left[x_2;+\infty\right[ $ donc sur $ \left[2;+\infty\right[ $ puisque $ x_2 < 2 $.

      Les seules valeurs entières susceptibles de maximiser $ f $ sont donc $ 1 $ ou $ 2 $.

      Or $ f(1)=0 $ et $ f(2)=\dfrac{1}{20} $.

      Donc, l'espérance mathématique est maximale pour $ n=2 $ c'est à dire si l'urne contient $ 2 $ boules blanches et $ 4 $ boules rouges.

      Cette espérance vaut alors $ E(X)=8f(2)=\dfrac{8}{20}=0,4 $