Une urne contient $n$ boules blanches et $2n$ boules rouges (avec $n \geqslant 1$).
On tire au hasard et sans remise, trois boules de l’urne.
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Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.
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On considère le jeu suivant :
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Si toutes les boules tirées sont blanches, le joueur perd 16 euros.
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Si toutes les boules tirées sont rouges, le joueur gagne 2 euros.
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Dans les autres cas, le joueur ne gagne rien et ne perd rien.
On note $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur.
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Calculer l’espérance mathématique $E(X)$.
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Soit la fonction $f$ définie sur $\left[1~;~+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x – 1}{(3x – 1)(3x – 2)}$.
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Etudier les variations de la fonction $f$.
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Combien de boules doit contenir l’urne pour que l’espérance mathématique $E(X)$ soit maximale ?
Quelle est alors la valeur de cette espérance mathématique ?
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Corrigé
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Pour ne pas surcharger la figure, seules les probabilités utilisées lors des questions suivantes ont été indiquées.
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Au premier niveau (tirage de la première boule), l’urne contient $n$ boules blanches sur un total de $3n$ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc $\dfrac{n}{3n} = \dfrac{1}{3}$.
L’urne contient $2n$ boules rouges sur un total de $3n$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $\dfrac{2n}{3n} = \dfrac{2}{3}$.
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Au second niveau (tirage de la seconde boule) :
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Si l’on a tiré une boule blanche en premier , il reste alors $n – 1$ boules blanches sur un total de $3n – 1$ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $\dfrac{n – 1}{3n – 1}$.
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Si l’on a tiré une boule rouge en premier , il reste alors $2n – 1$ boules rouges sur un total de $3n – 1$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $\dfrac{2n – 1}{3n – 1}$.
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Au troisième niveau (tirage de la troisième boule) :
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Si l’on a tiré deux boules blanches lors des deux premiers tirages, il reste alors $n – 2$ boules blanches sur un total de $3n – 2$ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $\dfrac{n – 2}{3n – 2}$.
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…
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Si l’on a tiré deux boules rouges lors des deux premiers tirages, il reste alors $2n – 2$ boules rouges sur un total de $3n – 2$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $\dfrac{2n – 2}{3n – 2}$.
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$X$ prend la valeur -16 si les trois boules sont blanches, c’est à dire avec une probabilité :
$p(X= – 16)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{n – 1}{3n – 1} \times \dfrac{n – 2}{3n – 2}$
$p(X= – 16)=\dfrac{(n – 1)(n – 2)}{3(3n – 1)(3n – 2)}$
$X$ prend la valeur -2 si les trois boules sont rouges, c’est à dire avec une probabilité :
$p(X=2)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2n – 1}{3n – 1} \times \dfrac{2n – 2}{3n – 2}$
$p(X=2)=\dfrac{2(2n – 1)(2n – 2)}{3(3n – 1)(3n – 2)}$
Dans les autres cas $X$ prend la valeur $0$.
Le total des probabilités étant égal à $1$ on obtient :
$p(X=0)=1 – p(X= – 16) – p(X=2)$
$p(X=0)=1 – \dfrac{(n – 1)(n – 2)}{3(3n – 1)(3n – 2)}$$- \dfrac{2(2n – 1)(2n – 2)}{3(3n – 1)(3n – 2)}$
$p(X=0)=\dfrac{6n^2 – 4n}{(3n – 1)(3n – 2)}$
La loi de probabilité de $X$ est donc :
$x_i$ $- 16$ $0$ $2$ $p(X=x_i)$ $\dfrac{(n – 1)(n – 2)}{3(3n – 1)(3n – 2)}$ $\dfrac{6n^2 – 4n}{(3n – 1)(3n – 2)}$ $\dfrac{2(2n – 1)(2n – 2)}{3(3n – 1)(3n – 2)}$ L’espérance mathématique de $X$ est :
$E(X)= – 16\times p(X= – 16)+0 \times p(X=0)+2 \times p(X=2)$
$\phantom{E(X)}= – 16\times \dfrac{(n – 1)(n – 2)}{3(3n – 1)(3n – 2)}$$+ 2 \times \dfrac{2(2n – 1)(2n – 2)}{3(3n – 1)(3n – 2)}$
$\phantom{E(X)}= – 16\times \dfrac{n^2 – 3n+2}{3(3n – 1)(3n – 2)}$$+ 2 \times \dfrac{8n^2 – 12n+4}{3(3n – 1)(3n – 2)}$
$\phantom{E(X)}=\dfrac{24n – 24}{3(3n – 1)(3n – 2)}$
$\phantom{E(X)}=\dfrac{8(n – 1)}{(3n – 1)(3n – 2)}$
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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\left[1;+\infty \right[$.
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec
$u(x)=x – 1$ donc $u ^{\prime}(x)=1$
$v(x)=(3x – 1)(3x – 2)=9x^2 – 9x+2$ donc $v^{\prime}(x) = 18x – 9$
Par conséquent :
$f^{\prime}(x)=\dfrac{9x^2 – 9x+2 – (x – 1)(18x – 9)}{(3x – 1)(3x – 2))^2}$
$f^{\prime}(x)=\dfrac{ – 9x^2+18x – 7}{((3x – 1)(3x – 2))^2}$
Le dénominateur est positif et le numérateur est un polynôme du second degré.
$\Delta = 18^2 – 4 \times 7 \times 9=72 > 0$
Le numérateur admet deux racines :
$x_1 = \dfrac{ – 18+6\sqrt{2}}{ – 18}= \dfrac{3 – \sqrt{2}}{3}$
$x_2 = \dfrac{ – 18 – 6\sqrt{2}}{ – 18}= \dfrac{3+\sqrt{2}}{3}$
$x_1$ est inférieur à $1$ et $x_2 \approx 1,47 \in \left[1;+\infty \right[$.
On obtient le tableau de variations suivant sur $\left[1;+\infty \right[$ :
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D’après la question 2., $E(X)=8f(n)$
L’espérance mathématique est donc maximale pour la valeur de $n$ qui maximise $f(n)$.
D’après la question précédente $f$ est décroissante sur $\left[x_2;+\infty\right[$ donc sur $\left[2;+\infty\right[$ puisque $x_2 < 2$.
Les seules valeurs entières susceptibles de maximiser $f$ sont donc $1$ ou $2$.
Or $f(1)=0$ et $f(2)=\dfrac{1}{20}$.
Donc, l’espérance mathématique est maximale pour $n=2$ c’est à dire si l’urne contient $2$ boules blanches et $4$ boules rouges.
Cette espérance vaut alors $E(X)=8f(2)=\dfrac{8}{20}=0,4$
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