Espérance mathématique – Ecart-type
On lance une pièce de monnaie et on considère la variable aléatoire $ X $ qui vaut $ 1 $ si la pièce tombe sur « pile » et $ 0 $ si la pièce tombe sur « face »
- On suppose la pièce parfaitement équilibrée.
Donner la loi de probabilité de $ X $. Calculer l'espérance mathématique, la variance et l'écart-type de $ X $ - Dans cette question, on ne suppose plus la pièce parfaitement équilibrée et on note $ p $ la probabilité que la pièce tombe sur « pile ».
Quelle est alors la loi de probabilité de $ X $, son espérance mathématique, sa variance, son écart-type ?
Pour quelle valeur de $ p $ l'écart-type est-il maximal ?
Corrigé
La pièce est parfaitement équilibrée, donc la probabilité d'obtenir « pile » est $ 0,5 $ et la probabilité d'obtenir « face » est $ 0,5 $.
La variable aléatoire $ X $ prend les valeurs $ 0 $ et $ 1 $.
La loi de probabilité de $ X $ est donnée par le tableau suivant :
$ x_i $ $ 0 $ $ 1 $ $ P(X=x_i) $ $ 0,5 $ $ 0,5 $ L'espérance mathématique de $ X $ est :
$ E(X) = 0 \times 0,5 + 1 \times 0,5 = 0,5 $La variance de $ X $ est donnée par la formule $ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $.
Calculons d'abord $ E(X^2) $ :
$ E(X^2) = 0^2 \times 0,5 + 1^2 \times 0,5 = 0,5 $D'où :
$ V(X) = 0,5 - 0,5^2 = 0,5 - 0,25 = 0,25 $L'écart-type est la racine carrée de la variance :
$ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{0,25} = 0,5 $On note $ p $ la probabilité d'obtenir « pile ».
Comme la somme des probabilités est égale à $ 1 $, la probabilité d'obtenir « face » est $ 1-p $.
La loi de probabilité de $ X $ est :
$ x_i $ $ 0 $ $ 1 $ $ P(X=x_i) $ $ 1-p $ $ p $ L'espérance mathématique est :
$ E(X) = 0 \times (1-p) + 1 \times p = p $Pour la variance :
$ E(X^2) = 0^2 \times (1-p) + 1^2 \times p = p $Donc :
$ V(X) = p - p^2 = p(1-p) $L'écart-type vaut :
$ \sigma(X) = \sqrt{p(1-p)} $On cherche pour quelle valeur de $ p $ l'écart-type est maximal.
Cela revient à chercher pour quelle valeur de $ p $ la variance $ V(X) = p - p^2 $ est maximale (car la fonction racine carrée est croissante sur $ [0; +\infty[ $).
Considérons la fonction $ f $ définie sur $ [0; 1] $ par $ f(p) = -p^2 + p $.
C'est un polynôme du second degré de la forme $ ap^2 + bp + c $ avec $ a = -1 $ et $ b = 1 $.
Comme $ a < 0 $, la parabole représentant cette fonction est orientée vers le bas et admet un maximum pour $ p = -\dfrac{b}{2a} $.
$ p = -\dfrac{1}{2 \times (-1)} = \dfrac{1}{2} = 0,5 $L'écart-type est donc maximal lorsque la pièce est parfaitement équilibrée ($ p = 0,5 $).