Équation trigonométrique (3)

L'équation à résoudre est $\cos(4x) = -\dfrac{1}{2}$.

On remarque que $-\dfrac{1}{2} = \cos \left( \dfrac{2\pi}{3} \right)$. L'équation $\cos(4x) = -\dfrac{1}{2}$ est donc équivalente à :

Ce qui équivaut à :

En divisant par $4$, on obtient les solutions générales :

On cherche maintenant toutes les solutions appartenant à l'intervalle $\left] -\pi ; \pi \right]$ en résolvant la double inégalité $-\pi < x \le \pi$ pour chaque cas :

• 1er cas : $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$

  $-\pi < \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2} \le \pi$

  En divisant par $\pi$ :

  $-1 < \dfrac{1}{6} + \dfrac{k}{2} \le 1$
  $-1 - \dfrac{1}{6} < \dfrac{k}{2} \le 1 - \dfrac{1}{6}$
  $-\dfrac{7}{6} < \dfrac{k}{2} \le \dfrac{5}{6}$

  En multipliant par $2$ :

  $-\dfrac{7}{3} < k \le \dfrac{5}{3}$

  Comme $k$ est un entier, les valeurs possibles sont $k \in \{ -2 ; -1 ; 0 ; 1 \}$.
  On obtient les solutions : $x_1 = -\dfrac{5\pi}{6}$, $x_2 = -\dfrac{\pi}{3}$, $x_3 = \dfrac{\pi}{6}$ et $x_4 = \dfrac{2\pi}{3}$.

• 2ème cas : $x = -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2}$

  $-\pi < -\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{2} \le \pi$

  En divisant par $\pi$ :

  $-1 < -\dfrac{1}{6} + \dfrac{k}{2} \le 1$
  $-1 + \dfrac{1}{6} < \dfrac{k}{2} \le 1 + \dfrac{1}{6}$
  $-\dfrac{5}{6} < \dfrac{k}{2} \le \dfrac{7}{6}$

  En multipliant par $2$ :

  $-\dfrac{5}{3} < k \le \dfrac{7}{3}$

  Comme $k$ est un entier, les valeurs possibles sont $k \in \{ -1 ; 0 ; 1 ; 2 \}$.
  On obtient les solutions : $x_5 = -\dfrac{2\pi}{3}$, $x_6 = -\dfrac{\pi}{6}$, $x_7 = \dfrac{\pi}{3}$ et $x_8 = \dfrac{5\pi}{6}$.

L'ensemble des solutions dans $\left] -\pi ; \pi \right]$ est donc :

Représentation des solutions sur le cercle trigonométrique :

(Solution rédigée par Paki)