On considère l’équation (E) d’inconnue $x$ :
$x^{2} – mx+\dfrac{1}{4}=0$
où $m$ est réel ( $m$ est appelé paramètre )
Discuter du nombre de solution(s) de (E) selon les valeurs de $m$.
Corrigé
Le discriminant du polynôme $x^{2} – mx+\dfrac{1}{4}=0$ est
$\Delta =\left( – m\right)^{2} – 4\times 1\times \dfrac{1}{4}$
$\Delta =m^{2} – 1$
$\Delta =\left(m – 1\right)\left(m+1\right)$
$\Delta$ est un polynôme du second degré en $m$. Ses racines sont $- 1$ et $1$.
$\Delta$ est strictement positif ( « du signe de $a$ » ) sur $\left] – \infty ; – 1\right[$ et sur $\left]1;+\infty \right[$
$\Delta$ est strictement négatif ( « du signe opposé de $a$ » ) sur $\left] – 1;1\right[$
Donc :
-
si $m < - 1$ ou $m > 1$ : l’équation (E) possède deux solutions :
$x_{1}=\dfrac{m+\sqrt{m^{2} – 1}}{2}$ et $x_{2}=\dfrac{m – \sqrt{m^{2} – 1}}{2}$
-
si $- 1 < m < 1$ : l'équation (E) ne possède aucune solution
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si $m= – 1$ ou $m=1$ : l’équation (E) ne possède une unique solution:
$x_{0}=\dfrac{m}{2}$