Le but de cet exercice est de démontrer le résultat suivant :
Si $d$ une droite d’équation $ax+by+c=0$, le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\left( – b ; a\right)$ est un vecteur directeur de la droite $d$.
Dans le plan, muni d’un repère $\left(O; \vec{i}, \vec{j}\right)$, on considère la droite $d$ d’équation $ax+by+c=0$ et $A\left(x_{A} ; y_{A}\right)$ un point de $d$.
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Montrer que le point $B$ de coordonnées $\left(x_{A} – b ; y_{A}+a\right)$ appartient à la droite $d$.
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En déduire que le vecteur $\vec{u}\left( – b ; a\right)$ est un vecteur directeur de $d$.
Corrigé
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Le point $A$ appartient à la droite $d$ donc ses coordonnées vérifient l’équation de $d$, c’est à dire que $ax_{A}+by_{A}+c=0$
Posons $x_{B}=x_{A} – b$ et $y_{B} = y_{A}+a$. Alors :
$ax_{B}+by_{B}+c=a\left(x_{A} – b\right)+b\left(y_{A}+a\right)+c=ax_{A} – ab+by_{A}+ab+c=ax_{A}+by_{A}+c=0$
Par conséquent le point $B$ appartient également à la droite $d$.
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Comme $A$ et $B$ appartiennent à la droite $d$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $d$.
Or les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_{B} – x_{A} ; y_{B} – y_{A}\right)=\left( – b ; a\right)$, ce qui prouve le résultat demandé.