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edit_note Exercices 20 min
Non commencé

Encadrements (2)

On sait que $ - 1 \leqslant x < 1 $.

Donner un encadrement (aussi précis que possible) de :

  1. $ \dfrac{1}{2 - x} $
  2. $ \left(x - 5\right)^{2}+1 $
  3. $ |x| $

Corrigé

  1. La fonction $ x \mapsto 2 - x $ est strictement décroissante sur $ \mathbb{R} $ car c'est une fonction affine dont le coefficient directeur est négatif donc :

    $ 2 - \left( - 1\right) \geqslant 2 - x > 2 - 1 $ c'est à dire $ 1 < 2 - x \leqslant 3 $

    L'encadrement précédent montre que $ 2 - x $ est supérieur à 1 donc strictement positif. Or la fonction inverse est strictement décroissante sur $ \left]0 ; +\infty \right[ $ donc :

    $ 1 > \dfrac{1}{2 - x} \geqslant \dfrac{1}{3} $ c'est à dire $ \dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{2 - x} < 1 $
  2. La fonction $ x \mapsto x - 5 $ est strictement croissante sur $ \mathbb{R} $ car c'est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif donc :

    $ - 1 - 5 \leqslant x - 5 < 1 - 5 $ c'est à dire $ - 6 \leqslant x - 5 < - 4 $

    L'encadrement précédent montre que $ x - 5 $ est négatif. Or la fonction carrée est strictement décroissante sur $ \left] - \infty ; 0 \right[ $ donc :

    $ \left( - 6\right)^{2} \geqslant \left(x - 5\right)^{2} > \left( - 4\right)^{2} $ c'est à dire $ 16 < \left(x - 5\right)^{2} \leqslant 36 $

    Il suffit ensuite d'ajouter $ 1 $ à chaque membre :

    $ 17 < \left(x - 5\right)^{2}+1 \leqslant 37 $

  3. La fonction $ x \mapsto |x| $ n'est pas monotone sur l'intervalle $ \left[ - 1 ; 1 \right[ $. Donc il n'est pas possible d'utiliser un raisonnement identique à celui utilisé dans les questions précédentes.

    On peut utiliser un graphique ou raisonner par disjonction de cas:

    1. Si $ x $ est positif ou nul :

      $ 0 \leqslant x < 1 $

      La fonction $ x \mapsto |x| $ est strictement croissante sur $ \left[0 ; +\infty \right[ $ donc

      $ |0| \leqslant |x| < |1| $ soit $ 0 \leqslant |x| < 1 $
    2. Si $ x $ est strictement négatif :

      $ - 1 \leqslant x < 0 $

      La fonction $ x \mapsto |x| $ est strictement décroissante sur $ \left] - \infty ; 0\right] $ donc

      $ | - 1| \geqslant |x| > |0| $ c'est à dire $ 0 < |x| \leqslant 1 $

    En regroupant les deux cas on trouve que $ 0 \leqslant |x| \leqslant 1 $