Encadrements (2)

La fonction $x \mapsto 2 – x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction affine dont le coefficient directeur est négatif donc :

$2 – \left( – 1\right) \geqslant 2 – x > 2 – 1$ c’est à dire $1 < 2 - x \leqslant 3$

L’encadrement précédent montre que $2 – x$ est supérieur à 1 donc strictement positif. Or la fonction inverse est strictement décroissante sur $\left]0 ; +\infty \right[$ donc :

$1 > \dfrac{1}{2 – x} \geqslant \dfrac{1}{3}$ c’est à dire $\dfrac{1}{3} \leqslant \dfrac{1}{2 – x} < 1$

La fonction $x \mapsto x – 5$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ car c’est une fonction affine dont le coefficient directeur est positif donc :

$- 1 – 5 \leqslant x – 5 < 1 - 5$ c'est à dire $- 6 \leqslant x - 5 < - 4$

L’encadrement précédent montre que $x – 5$ est négatif. Or la fonction carrée est strictement décroissante sur $\left] – \infty ; 0 \right[$ donc :

$\left( – 6\right)^{2} \geqslant \left(x – 5\right)^{2} > \left( – 4\right)^{2}$ c’est à dire $16 < \left(x - 5\right)^{2} \leqslant 36$

Il suffit ensuite d’ajouter $1$ à chaque membre :

$17 < \left(x - 5\right)^{2}+1 \leqslant 37$

La fonction $x \mapsto |x|$ n’est pas monotone sur l’intervalle $\left[ – 1 ; 1 \right[$. Donc il n’est pas possible d’utiliser un raisonnement identique à celui utilisé dans les questions précédentes.

On peut utiliser un graphique ou raisonner par disjonction de cas :

1. Si $x$ est positif ou nul :

   $0 \leqslant x < 1$

   La fonction $x \mapsto |x|$ est strictement croissante sur $\left[0 ; +\infty \right[$ donc

   $|0| \leqslant |x| < |1|$ soit $0 \leqslant |x| < 1$

2. Si $x$ est strictement négatif :

   $- 1 \leqslant x < 0$

   La fonction $x \mapsto |x|$ est strictement décroissante sur $\left] – \infty ; 0\right]$ donc

   $| – 1| \geqslant |x| > |0|$ c’est à dire $0 < |x| \leqslant 1$

En regroupant les deux cas on trouve que $0 \leqslant |x| \leqslant 1$