Division euclidienne d’entiers négatifs

On commence par effectuer (en la posant comme au primaire...) la division euclidienne de 1564 par 121.

Le quotient est $ 12 $ et le reste $ 112 $.

Donc :

$ 1564 = 121\times 12+112 $

Par conséquent : $ - 1564 = - 121\times 12 - 112 $

Mais -112 ne peut être le reste de la division euclidienne de -1564 par 121 car il n'est pas positif ou nul.

L'astuce consiste alors à écrire 112=121-9 donc :

$ - 1564 = - 121\times 12 - 121+9 $

et en mettant 121 en facteur :

$ - 1564 = - 121\times \left(12+1\right)+9= - 121\times 13+9=121\times \left( - 13\right)+9 $ et on a bien $ 0\leqslant 9 < 121 $

Le quotient de la division euclidienne de -1564 par 121 est donc -13 et le reste 9.

$ 1564 = 121\times 12+112 $, donc :

$ 1564 = - 121\times \left( - 12\right)+112 $ et $ 112 $ est bien le reste puisque $ 0\leqslant 112 < | - 121| $

Le quotient et le reste de la division euclidienne de 1564 par -121 sont donc respectivement -12 et 112

On utilise le résultat du 1. $ - 1564 = - 121\times 13+9 $

Comme $ 0\leqslant 9 < | - 121| $, le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par -121 sont donc respectivement 13 et 9.