Division euclidienne d’entiers négatifs

On commence par effectuer (en la posant comme au primaire…) la division euclidienne de 1564 par 121.

Le quotient est $12$ et le reste $112$.

Donc :

$1564 = 121\times 12+112$

Par conséquent : $- 1564 = – 121\times 12 – 112$

Mais -112 ne peut être le reste de la division euclidienne de -1564 par 121 car il n’est pas positif ou nul.

L’astuce consiste alors à écrire 112=121-9 donc :

$- 1564 = – 121\times 12 – 121+9$

et en mettant 121 en facteur :

$- 1564 = – 121\times \left(12+1\right)+9= – 121\times 13+9=121\times \left( – 13\right)+9$ et on a bien $0\leqslant 9 < 121$

Le quotient de la division euclidienne de -1564 par 121 est donc -13 et le reste 9.

$1564 = 121\times 12+112$, donc :

$1564 = – 121\times \left( – 12\right)+112$ et $112$ est bien le reste puisque $0\leqslant 112 < | - 121|$

Le quotient et le reste de la division euclidienne de 1564 par -121 sont donc respectivement -12 et 112

On utilise le résultat du 1.
$- 1564 = – 121\times 13+9$

Comme $0\leqslant 9 < | - 121|$, le quotient et le reste de la division euclidienne de -1564 par -121 sont donc respectivement 13 et 9.