Divisibilité et récurrence

Posons $ u_n = 5^n + 4n + 15 $.

• Initialisation :
  Pour $ n = 0 $, $ u_0 = 5^0 + 4 \times 0 + 15 = 1 + 15 = 16 $.
  $ 16 = 8 \times 2 $, donc $ u_0 \equiv 0 \pmod 8 $.
  La propriété est donc vraie au rang $ 0 $.

• Hérédité :
  Démontrons que si $ u_n \equiv 0 \pmod 8 $ est vrai, alors $ u_{n+1} \equiv 0 \pmod 8 $ est également vrai.

  $ u_{n+1} = 5^{n+1} + 4(n+1) + 15 $
  $ u_{n+1} = 5 \cdot 5^n + 4n + 4 + 15 $
  $ u_{n+1} = 5 \cdot 5^n - 5^n + 4 + (5^n + 4n + 15) $
  $ u_{n+1} = 4 \cdot 5^n + 4 + u_n $
  $ u_{n+1} = 4(5^n + 1) + u_n $

  Si $ u_n \equiv 0 \pmod 8 $, alors $ u_{n+1} \equiv 4(5^n + 1) \pmod 8 $.
  $ 5 $ est impair donc $ 5^n $ est impair, $ 5^n + 1 $ est pair. Il en résulte que $ 4(5^n + 1) $ est un multiple de $ 8 $, d'où $ 4(5^n + 1) \equiv 0 \pmod 8 $.
  On en déduit que $ u_{n+1} \equiv 0 \pmod 8 $.

• Conclusion :
  On en déduit par récurrence que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_n $ est divisible par $ 8 $.

(Solution rédigée par Paki)