Soit $n$ un entier naturel.
On pose $a=3n+1$, $b=5n+1$ et $d=PGCD\left(a;b\right)$.
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Montrer que $d$ est un diviseur de 2.
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Déterminer les valeurs de $d$ en fonction de $n$.
Corrigé
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$d$ divise $a$ et $b$ donc il divise toute combinaison linéaire de $a$ et $b$ ; en particulier il divise :
$5a – 3b=5\left(3n+1\right) – 3\left(5n+1\right)=2$
Remarque
On a choisi les coefficients $5$ et $- 3$ de façon à éliminer les $n$…
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Les seuls diviseurs entiers naturels de $2$ sont $1$ et $2$.
Par conséquent :
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Si $n$ est pair, $a$ et $b$ sont impairs donc $d$ ne peut pas être égal à $2$, d’où $d=1$
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Si $n$ est impair, $a$ et $b$ sont pairs donc $d$ est également pair d’où $d=2$
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