Exercice 3 – 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Partie A
On considère les matrices $M$ de la forme $$M = \begin{pmatrix}a&b \\ 5&3\end{pmatrix}$$ où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
Le nombre $3a – 5b$ est appelé \le déterminant de $M$. On \le note det$(M)$.
Ainsi det$(M) = 3a – 5b$.
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Dans cette question on suppose que det$(M) \ne 0$ et on pose $$N = \dfrac{1}{\text{det}(M)}\begin{pmatrix}3& – b \\ – 5&a\end{pmatrix}$$.
Justifier que $N$ est l’\inverse de $M$.
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On considère l’équation $(E) :\quad \det(M) = 3$.
On souhaite déterminer tous \les couples d’entiers $(a~;~b)$ solutions de l’équation $(E)$.
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Vérifier que \le couple $(6~;~3)$ est une solution de $(E)$.
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Montrer que \le couple d’entiers $(a~;~b)$ est solution de $(E)$ si et seulement si$3(a – 6) = 5(b – 3)$.
En déduire l’ensemble des solutions de l’équation $(E)$.
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Partie B
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On pose $$Q = \begin{pmatrix}6 & 3 \\ 5 & 3\end{pmatrix}$$.
En utilisant la partie A, déterminer la matrice \inverse de $Q$.
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Codage avec la matrice $Q$
Pour coder un mot de deux \lettres à l’aide de la matrice $$Q = \begin{pmatrix}6 &3 \\ 5& 3\end{pmatrix}$$ on utilise la procédure ci-après :
Étape 1 : On associe au mot la matrice $$X = \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2\end{pmatrix}$$ où $x_1$ est l’entier correspondant à la première \lettre du mot et $x_2$ l’entier correspondant à la deuxième \lettre du mot selon \le tableau de correspondance ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Étape 2 : La matrice $X$ est transformée en la matrice $$Y = \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}$$ telle que $Y = QX$.
Étape 3 : La matrice $Y$ est transformée en la matrice $$R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix}$$ telle que $r_1$ est \le reste de la division euclidienne de $y_1$ par 26 et $r_2$ est \le reste de la division euclidienne de $y_2$ par 26.
Étape 4 : À la matrice $$R = \begin{pmatrix}r_1 \\ r_2\end{pmatrix}$$ on associe un mot de deux \lettres selon \le tableau de correspondance de l’étape 1.
Exemple : JE$$\to X = \begin{pmatrix}9 \\ 4\end{pmatrix} \to Y = \begin{pmatrix}66 \\ 57\end{pmatrix} \to R \begin{pmatrix}14 \\ 5\end{pmatrix} \to$$OF.
Le mot JE est codé en \le mot OF.
Coder \le mot DO.
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Procédure de décodage On conserve \les mêmes notations que pour \le codage.
Lors du codage, la matrice $X$ a été transformée en la matrice $Y$ telle que $Y = QX$.
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Démontrer que $3X = 3Q^{ – 1}Y$ puis que $$\begin{cases} 3x_1 \equiv 3r_1 – 3r_2 \quad [26]\\ 3x_2 \equiv – 5r_1+6r_2 \quad [26] \end{cases}$$
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En remarquant que $9 \times 3 \equiv 1 \quad [26]$, montrer que $$\begin{cases} x_1 \equiv r_1 – r_2 \quad [26] \\ x_2 \equiv 7r_1+2r_2 \quad [26] \end{cases}$$
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Décoder le mot SG.
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