Probabilités - Contamination par un virus-Bac S Métropole-2011

Exercice 1 - 4 points

Commun à tous les candidats

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à $ 10^{ - 4} $.

Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.

On dispose d'un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :

La probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test).
La probabilité qu'une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test).

On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.

On note $ V $ l'évènement "la personne est contaminée par le virus" et $ T $ l'évènement "le test est positif".

$ \overline{V} $ et $ \overline{T} $ désignent respectivement les évènements contraires de $ V $ et $ T $.

1. Préciser les valeurs des probabilités $ P\left(V\right) $, $ P_{V}\left(T\right) $, $ P_{\overline{V}}\left(\overline{T}\right) $.
  
  Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.
2. En déduire la probabilité de l'évènement $ V \cap T $.
Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
1. Justifier par un calcul la phrase :
  
  « Si le test est positif, il n'y a qu'environ 40% de "chances" que la personne soit contaminée ».
2. Déterminer la probabilité qu'une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.

On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

1. D'après l'énoncé :
2. $ P(V) = 0,02 $
3. $ P_V(T) = 0,99 $
4. $ P_{\overline{V}}(\overline{T}) = 0,97 $
  
  Arbre de probabilités :
5. $ P(V \cap T) = P(V) \times P_V(T) = 0,02 \times 0,99 = 0,0198 $.
D'après la formule des probabilités totales :
$ P(T) = P(V \cap T) + P(\overline{V} \cap T) $
$ P(T) = P(V) \times P_V(T) + P(\overline{V}) \times P_{\overline{V}}(T) $
$ P(T) = 0,0198 + 0,98 \times (1 - 0,97) $
$ P(T) = 0,0198 + 0,98 \times 0,03 = 0,0198 + 0,0294 = 0,0492 $.
1. Cela revient à calculer $ P_T(V) $ :
  
  $ P_T(V) = \dfrac{P(V \cap T)}{P(T)} = \dfrac{0,0198}{0,0492} \approx 0,4024 $
  
  Soit environ $ 40\% $.
2. On cherche à déterminer $ P_{\overline{T}}(\overline{V}) $ :
  
  $ P_{\overline{T}}(\overline{V}) = \dfrac{P(\overline{V} \cap \overline{T})}{P(\overline{T})} = \dfrac{P(\overline{V}) \times P_{\overline{V}}(\overline{T})}{1 - P(T)} = \dfrac{0,98 \times 0,97}{1 - 0,0492} = \dfrac{0,9506}{0,9508} \approx 0,9998 $

Le tirage d'une personne dont on détermine si elle est ou non contaminée constitue une épreuve de Bernoulli de paramètre $ p = P(V) = 0,02 $.
Comme on choisit successivement 10 personnes de façon indépendante, la variable aléatoire $ X $ qui donne le nombre de personnes contaminées suit une loi binomiale de paramètres $ n = 10 $ et $ p = 0,02 $.
On note $ X \sim \mathcal{B}(10 \ ; \ 0,02) $.
On cherche à calculer $ P(X \geqslant 2) $ :
$ P(X \geqslant 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) $
$ P(X = 0) = \binom{10}{0} \times 0,02^0 \times 0,98^{10} = 0,98^{10} \approx 0,81707 $
$ P(X = 1) = \binom{10}{1} \times 0,02^1 \times 0,98^9 = 10 \times 0,02 \times 0,98^9 \approx 0,16675 $
$ P(X \geqslant 2) = 1 - (0,98^{10} + 0,2 \times 0,98^9) \approx 1 - 0,98382 \approx 0,0162 $.

(Solution rédigée par Paki)