Dans cet exercice, on recherche s’il existe des valeurs de l’entier naturel $n$ pour lesquelles $n^2+9$ est une puissance de $2$ ou une puissance de $3$.
Partie A
Soient deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n^2+9=2^m$.
- Justifier que $m$ est nécessairement supérieur ou égal à $4$ et que $n$ est impair.
- Montrer qu’alors $n^2 \equiv 3 $ (mod. $4$)
- Compléter le tableau :
[table class= »compact »]$n \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4})$ | $\qquad 0 \qquad$ | $\qquad 1 \qquad$ | $\qquad 2 \qquad$ | $\qquad 3 \qquad$
$n^2 \equiv \cdots \ \ (\text{mod. 4})$ | | | | [/table] - Existe-t-il des valeurs de $n$ pour lesquelles $n^2+9$ est une puissance de $2$ ?
Partie B
Soient deux entiers naturels $n$ et $m$ tels que $n^2+9=3^m$.
- Justifier que $m$ est nécessairement supérieur ou égal à $2$ et que $n$ est pair.
- Montrer qu’alors $(-1)^m \equiv 1 $ (mod. $4$).
Que peut-on en déduire sur la parité de $m$ ? - On pose $m=2k$.
Montrer que $(3^k-n)(3^k+n)=9$ - Existe-t-il des valeurs de $n$ pour lesquelles $n^2+9$ est une puissance de $3$ ?