Exercice 4
5 points-Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel $n$ dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009, c’est-à-dire tel que $n^{3}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 10000$.
Partie A
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Déterminer le reste de la division euclidienne de $2009^{2}$ par $16$.
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En déduire que $2009^{8001}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 16$.
Partie B
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
$u_{0}=2009^{2} – 1$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=\left(u_{n}+1\right)^{5} – 1$.
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Démontrer que $u_{0}$ est divisible par 5.
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Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel $n$
$u_{n+1}=u_{n}\left[u_{n}^{4}+5\left(u_{n}^{3}+2u_{n}^{2} +2u_{n}+1\right)\right]$
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Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ est divisible par $5^{n+1}$.
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Vérifier que $u_{3}=2009^{250} – 1$ puis en déduire que $2009^{250}\equiv 1 \ \text{}mod. \text{}\ 625$.
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Démontrer alors que $2009^{8001}\equiv 2009 \ \text{}mod. \text{}\ 625$.
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Partie C
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En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que $2009^{8001} – 2009$ est divisible par 10 000.
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Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009.
