Comparaison de racines carrées

Compléter à l'aide du signe $ > $ ou $ < $, en indiquant la propriété utilisée.

Corrigé

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $ [0; +\infty[ $.
Comme $ 2 < 3 $, on a :

$ \sqrt{2} < \sqrt{3} $
On sait que $ 2 = \sqrt{4} $.
Or $ 5 > 4 $.
Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $ [0; +\infty[ $, on a $ \sqrt{5} > \sqrt{4} $ c'est-à-dire :

$ \sqrt{5} > 2 $
Une racine carrée est toujours positive (ou nulle), donc $ \sqrt{3} \geq 0 $.
Comme $ -2 $ est négatif, on a nécessairement :

$ \sqrt{3} > -2 $
On compare d'abord $ \sqrt{7} $ et $ 3 $.
On sait que $ 3 = \sqrt{9} $.
Comme $ 7 < 9 $ et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $ [0; +\infty[ $, on a $ \sqrt{7} < \sqrt{9} $ soit $ \sqrt{7} < 3 $.
En multipliant par $ -1 $ qui est strictement négatif, on change le sens de l'inégalité :

$ -\sqrt{7} > -3 $
On compare d'abord le numérateur et le dénominateur.
On sait que $ 2 = \sqrt{4} $.
Comme $ 5 > 4 $ et que la fonction racine carrée est strictement croissante sur $ [0; +\infty[ $, on a $ \sqrt{5} > 2 $.
En divisant par $ 2 $ (qui est strictement positif), on conserve le sens de l'inégalité :

$ \dfrac{\sqrt{5}}{2} > \dfrac{2}{2} $

Soit :

$ \dfrac{\sqrt{5}}{2} > 1 $