Sylvie souhaite s’inscrire à un club d’aquagym pour une année.
Le club propose trois formules tarifaires différentes :
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Formule « à la séance » : 12 € la séance
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Formule « carte » : 90 € par carte de 10 séances
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Formule « abonnement » : cotisation de 50 € puis 5 € par séance.
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Montrer que le coût total pour 8 séances est :
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96 € avec la formule « à la séance »
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90 € avec la formule « carte »
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90 € avec la formule « abonnement ».
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Sylvie souhaite participer à 30 séances sur l’année. Quelle formule est la plus avantageuse ?
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Angélique s’inscrit également à ce club mais elle ne sait pas à l’avance à combien de séances elle va participer.
Elle souhaite cependant comparer les formules « à la séance » et « abonnement ».
Soit $x$ le nombre de séances auxquelles Angélique participera.
Exprimer en fonction de $x$ le coût total si elle choisit la formule « à la séance » puis le coût total si elle choisit la formule « abonnement ».
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À partir de combien de séances la formule « abonnement » est-elle plus avantageuse que la formule « à la séance » ?
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On note $f$ la fonction qui à $x$ associe $12x$ et $g$ la fonction qui a $x$ associe $5x +50$.
La fonction $f$ est-elle une linéaire ? affine ?
Mêmes questions pour la fonction $g$.
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Représenter les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthogonal en prenant pour unités 1 cm en abscisses et 1 mm en ordonnées.
Retrouver le résultat de la question 5 à l’aide de ce graphique.
Corrigé
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Calculons le coût total pour 8 séances :
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Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera 12 euros par séance donc au total :
$8\times 12=96$ euros.
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Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter une carte qui lui coûtera $90$ euros (et il lui restera deux séances inutilisées).
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Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera une cotisation de 50 euros puis 5 euros par séance soit au total :
$50+8\times 5=50+40=90$ euros.
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Le calcul est similaire pour 30 séances :
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Avec la formule « à la séance » : Sylvie paiera au total :
$30\times 12=360$ euros.
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Avec la formule « carte », Sylvie devra acheter trois cartes qui lui coûteront $3\times 90=270$ euros.
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Avec la formule « abonnement », Sylvie paiera au total :
$50+30\times 5=50+150=200$ euros.
Pour 30 séances, la formule « abonnement » est la plus avantageuse.
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Pour $x$ séances :
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Avec la formule « à la séance » : Angélique paiera au total :
$12\times x=12x$ euros.
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Avec la formule « abonnement », Angélique paiera au total :
$50+x\times 5=50+5x$ euros.
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La formule « abonnement » est plus avantageuse que la formule « à la séance » dès lors que :
$50+5x<12x$
On soustrait $5x$ à chaque membre de l’inéquation :
$50+5x – 5x<12x - 5x$
$50<7x$
On divise chaque membre par 7 :
$\dfrac{50}{7} < \dfrac{7x}{7}$
$\dfrac{50}{7} < x$
Comme $\dfrac{50}{7} \approx 7,1$, la formule « abonnement » sera plus intéressante à partir de 8 séances.
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La fonction $f$ est : $x \longmapsto 12x$.
Elle est de la forme :$x \longmapsto ax$ ; c’est donc une fonction linéaire et également une fonction affine (puisque les fonctions linéaires sont des fonctions affines particulières).
La fonction $g$ est : $x \longmapsto 5x +50$.
Elle est de la forme :$x \longmapsto ax+b$ mais n’est pas de la forme : $x \longmapsto ax$; c’est donc une fonction affine mais non linéaire.
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La fonction $f$ est linéaire. Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine. Il suffit d’un second point pour tracer cette droite ; par exemple le point de coordonnées $(1;12)$ puisque $f(1)=12$.
La fonction $g$ est affine et non linéaire. Sa représentation graphique est une droite ne passant pas par l’origine. Il suffit de deux points pour tracer cette droite ; par exemple les points de coordonnées $(0;50)$ et $(1;55)$ puisque $f(0)=50$ et $f(1)=55$.
On obtient le graphique suivant :
La fonction $f$ représente le coût de la formule « carte » et la fonction $g$ représente le coût de la formule « abonnement ». On retrouve bien graphiquement que la formule « abonnement » est plus intéressante à compter de 8 séances.