Nombres complexes – Calcul sinus et cosinus pi/12

Forme algébrique :

$zz^{\prime}=\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1 – i\right)=1+i\sqrt{3} – i – i^{2}\sqrt{3}=1+\sqrt{3}+i\left( – 1+\sqrt{3}\right)$

Forme exponentielle :

$|z|=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

Si $\theta$ est l’argument de $z$:

$\cos \theta = \dfrac{1}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ donc $\theta =\dfrac{\pi }{3} \left(\text{mod. }. 2\pi \right)$

Donc :

$z=2e^{i\dfrac{\pi }{3}}$

De même :

$|z^{\prime}|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

Si $\theta ^{\prime}$ est l’argument de $z^{\prime}$:

$\cos \theta ^{\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta ^{\prime} = – \dfrac{1}{\sqrt{2}}= – \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ donc $\theta ^{\prime}= – \dfrac{\pi }{4} \left(\text{mod. }. 2\pi \right)$

Par conséquent :

$z^{\prime}=\sqrt{2}e^{ – i\dfrac{\pi }{4}}$

Finalement :

$zz^{\prime}=2e^{i\dfrac{\pi }{3}}\times \sqrt{2}e^{ – i\dfrac{\pi }{4}}=2\sqrt{2}e^{i \left(\dfrac{\pi }{3} – \dfrac{\pi }{4}\right)}=2\sqrt{2}e^{i \dfrac{\pi }{12}}$

D’après la question précédente :

$zz^{\prime}=2\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{12}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right)\right)$

et

$zz^{\prime}=1+\sqrt{3}+i\left( – 1+\sqrt{3}\right)$

Donc :

$\cos\left(\dfrac{\pi }{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3} – 1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$