Nombres complexes – Calcul sinus et cosinus pi/12

Forme algébrique :

$ zz^{\prime}=\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1 - i\right)=1+i\sqrt{3} - i - i^{2}\sqrt{3}=1+\sqrt{3}+i\left( - 1+\sqrt{3}\right) $

Forme exponentielle :

$ |z|=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 $

Si $ \theta $ est l'argument de $ z $:

$ \cos \theta = \dfrac{1}{2} $ et $ \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ donc $ \theta =\dfrac{\pi }{3} \left(\text{mod. }. 2\pi \right) $

Donc :

$ z=2e^{i\frac{\pi }{3}} $

De même :

$ |z^{\prime}|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} $

Si $ \theta ^{\prime} $ est l'argument de $ z^{\prime} $:

$ \cos \theta ^{\prime} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $ et $ \sin \theta ^{\prime} = - \dfrac{1}{\sqrt{2}}= - \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ donc $ \theta ^{\prime}= - \dfrac{\pi }{4} \left(\text{mod. }. 2\pi \right) $

Par conséquent :

$ z^{\prime}=\sqrt{2}e^{ - i\frac{\pi }{4}} $

Finalement :

$ zz^{\prime}=2e^{i\frac{\pi }{3}}\times \sqrt{2}e^{ - i\frac{\pi }{4}}=2\sqrt{2}e^{i \left(\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}\right)}=2\sqrt{2}e^{i \frac{\pi }{12}} $

D'après la question précédente :

$ zz^{\prime}=2\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi }{12}\right)+i \sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right)\right) $

et

$ zz^{\prime}=1+\sqrt{3}+i\left( - 1+\sqrt{3}\right) $

Donc :

$ \cos\left(\dfrac{\pi }{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} $

$ \sin\left(\dfrac{\pi }{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $