[D’après Bac S Métropole 2009)
Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher :
7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés de 1 à 3.
On tire simultanément deux jetons de ce sac.
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On note A l’événement « obtenir deux jetons blancs ».
Démontrer que la probabilité de l’événement A est égale à $\dfrac{7}{15}$. (On pourra utiliser un arbre pondéré)
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Soit $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage simultané.
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Déterminer la loi de probabilité de $X$.
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Calculer l’espérance mathématique de $X$.
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Corrigé
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L’expérience peut être modélisée par l’arbre ci-dessous (les fractions n’ont volontairement pas été simplifiées) :
La probabilité d’obtenir deux jetons blancs est :
$p\left(A\right)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{6}{9}=\dfrac{7}{15}$
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$X$ peut prendre les valeurs $0; 1$ et $2$.
Grâce à l’arbre ci-dessus on trouve :
$p\left(X=0\right)=\dfrac{3}{10}\times \dfrac{2}{9}=\dfrac{1}{15}$
$p\left(X=1\right)=\dfrac{7}{10}\times \dfrac{3}{9}+\dfrac{3}{10}\times \dfrac{7}{9}=\dfrac{1}{15}=\dfrac{7}{15}$
La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau :
$x_{i}$ $0$ $1$ $2$ $p\left(X=x_{i}\right)$ $\dfrac{1}{15}$ $\dfrac{7}{15}$ $\dfrac{7}{15}$ -
L’espérance mathématique est égale à :
$E\left(X\right)=0\times \dfrac{1}{15}+1\times \dfrac{7}{15}+2\times \dfrac{7}{15}=\dfrac{7}{5}$
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