[D’après bac ES Polynésie 2014]
La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout nombre entier naturel $n$ par :
$$\left\{ \begin{matrix} u_{0} = 5 \\ u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_{n}+1\end{matrix}\right.$$
Partie A
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On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $n$ non \nul donné, tous \les termes de la suite, du rang 0 au rang $n$.
Parmi \les trois algorithmes suivants, un seul convient.
Indiquer \lequel et justifier pourquoi \les deux autres \ne peuvent donner \le résultat attendu.
Variables $U$ est un nombre réel $i$ et $N$ sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour $N$ $U$ prend la valeur 5 Pour $i$ de $0$ à $N$ faire Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2}\times U+1$ Fin Pour Afficher $U$ Fin Algorithme 1
Variables $U$ est un nombre réel $i$ et $N$ sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour $N$ Pour $i$ de $0$ à $N$ faire $U$ prend la valeur 5 Afficher $U$ Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2}\times U+1$ Fin Pour Fin Algorithme 2
Variables $U$ est un nombre réel $i$ et $N$ sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour $N$ $U$ prend la valeur 5 Pour $i$ de $0$ à $N$ faire Afficher $U$ Affecter à $U$ la valeur $\dfrac{1}{2}\times U+1$ Fin Pour Fin Algorithme 3
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On saisit la valeur 9 pour $N$, l’affichage est le suivant :
5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059 Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?