[Bac] Suite et algorithme
[D'après bac ES Polynésie 2014]
La suite $ \left(u_{n}\right) $ est définie pour tout nombre entier naturel $ n $ par :
Partie A
On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturel $ n $ non nul donné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rang $ n $.
Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient.
Indiquer lequel et justifier pourquoi les deux autres ne peuvent donner le résultat attendu.
Algorithme 1 :
Variables $ U $ est un nombre réel $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour $ N $ $ U $ prend la valeur 5 Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $ Fin Pour Afficher $ U $ Fin Algorithme 2 :
Variables $ U $ est un nombre réel $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour $ N $ Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire $ U $ prend la valeur 5 Afficher $ U $ Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $ Fin Pour Fin Algorithme 3 :
Variables $ U $ est un nombre réel $ i $ et $ N $ sont des nombres entiers Début Saisir une valeur pour $ N $ $ U $ prend la valeur 5 Pour $ i $ de $ 0 $ à $ N $ faire Afficher $ U $ Affecter à $ U $ la valeur $ \dfrac{1}{2}\times U+1 $ Fin Pour Fin On saisit la valeur 9 pour $ N $, l'affichage est le suivant :
5 3,5 2,75 2,375 2,185 2,0938 2,0469 2,0234 2,0117 2,0059 Quelle conjecture peut-on émettre sur le sens de variation de cette suite ?
Corrigé
L'algorithme qui convient est l'algorithme 3.
Justifications pour les algorithmes qui ne conviennent pas :
- Algorithme 1 : L'instruction « Afficher $U$ » est placée après la boucle « Pour ». Cet algorithme n'affichera donc que la valeur finale calculée et non tous les termes de la suite du rang 0 au rang $n$.
- Algorithme 2 : L'instruction « $U$ prend la valeur 5 » est placée à l'intérieur de la boucle. À chaque étape, la valeur de $U$ est réinitialisée à 5. L'algorithme affichera donc $n+1$ fois la valeur 5.
Justification pour l'algorithme 3 :
L'algorithme 3 initialise bien $U$ à 5 (valeur de $u_0$) avant la boucle.À chaque itération de la boucle (pour $i$ allant de 0 à $n$), il affiche la valeur courante de $U$ puis calcule le terme suivant.
On obtient ainsi l'affichage de tous les termes de $u_0$ à $u_n$.
En observant les valeurs affichées pour $N=9$, on constate que :
$ 5 > 3,5 > 2,75 > 2,375 > \dots $Chaque terme semble être inférieur au précédent.
On peut donc conjecturer que la suite $ (u_n) $ est décroissante.