[Bac] Intérêts composés

(D'après bac ES/L Pondichéry 2013)

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note $ C_{n} $ le capital du client au 1er janvier de l'année $ 2000+n $, où $ n $ est un entier naturel.

1. Calculer $ C_{1} $ et $ C_{2} $. Arrondir les résultats au centime d'euro.
2. Exprimer $ C_{n+1} $ en fonction de $ C_{n} $. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $ n $, on a la relation :
   
   $ C_{n}=3000 \times 1,025^{n}. $

3. On donne l'algorithme suivant :

   Entrée	Saisir un nombre $ S $ supérieur à 3000
   Traitement	Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $.
   	Affecter à $ U $ la valeur 3000
   	Tant que $ U\leqslant S $
   	$ \quad \quad n $ prend la valeur $ n+1 $
   	$ \quad \quad U $ prend la valeur $ U \times 1,025 $
   	Fin tant que
   Sortie	Afficher le nombre $ 2000+n $

   1. Pour la valeur $ S=3300 $ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.

      Entrée	Saisir un nombre $ S $ supérieur à 3000
      Traitement	Affecter à $ n $ la valeur $ 0 $.
      Affecter à $ U $ la valeur 3000
      Tant que $ U\leqslant S $
      $ \quad \quad n $ prend la valeur $ n+1 $
      $ \quad \quad U $ prend la valeur $ U \times 1,025 $
      Fin tant que
      Sortie	Afficher le nombre $ 2000+n $

   2. En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $ S $ saisie est 3300.
   3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $ S $ supérieur à 3000.
4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.