[Bac] Intérêts composés

(D’après bac ES/L Pondichéry 2013)

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000 euros à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.

On note $C_{n}$ le capital du client au 1er janvier de l’année $2000+n$, où $n$ est un entier naturel.

1. Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$. Arrondir les résultats au centime d’euro.

2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$. En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a la relation :

   $C_{n}=3000 \times 1,025^{n}.$

3. On donne l’algorithme suivant :

   Entrée	Saisir un nombre $S$ supérieur à 3000
   Traitement	Affecter à $n$ la valeur $0$.
   	Affecter à $U$ la valeur 3000
   	Tant que $U\leqslant S$
   	$\quad \quad n$ prend la valeur $n+1$
   	$\quad \quad U$ prend la valeur $U \times 1,025$
   	Fin tant que
   Sortie	Afficher le nombre $2000+n$

   1. Pour la valeur $S=3300$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

      Entrée	Saisir un nombre $S$ supérieur à 3000
      Traitement	Affecter à $n$ la valeur $0$.
      	Affecter à $U$ la valeur 3000
      	Tant que $U\leqslant S$
      	$\quad \quad n$ prend la valeur $n+1$
      	$\quad \quad U$ prend la valeur $U \times 1,025$
      	Fin tant que
      Sortie	Afficher le nombre $2000+n$

   2. En déduire l’affichage obtenu quand la valeur de $S$ saisie est 3300.

   3. Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $S$ supérieur à 3000.

4. Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5000 euros. Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date.