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[Bac] Fonction exponentielle – Coût marginal

(D'après Bac ES Liban 2009 - Modifié pour correspondre au programme en vigueur actuellement)

Partie A

On considère la fonction définie sur $ \left[0 ; 4\right] $ par

$ f\left(x\right)= 10+\left(x - 3\right) e^{x} $
  1. Démontrer que $ f^{\prime}\left(x\right)=\left(x - 2\right) e^{x} $ et étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.
  2. Dresser le tableau de variations de $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.
  3. En déduire le signe de $ f\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[0 ; 4\right] $.

Partie B

Une entreprise fabrique $ x $ tonnes d'un certain produit, avec $ x \in \left[0 ; 4\right] $. Le coût marginal de fabrication pour une production de $ x $ tonnes est donné par $ f\left(x\right) $ exprimé en milliers d'euros, où $ f $ est la fonction définie dans la partie A,.

L'entreprise désire adapter sa production pour atteindre un coût marginal de 11 292 euros.

  1. En utilisant la partie A démontrer qu'il est possible d'atteindre un coût marginal de 11 292 euros.
  2. Déterminer la production correspondante, à 10 kg près.

Corrigé

Partie A

  1. La fonction $ f $ est de la forme $ 10 + u \times v $ avec :

    $ u(x) = x - 3 $ et $ v(x) = e^x $

    On a alors :

    $ u'(x) = 1 $ et $ v'(x) = e^x $

    La dérivée $ f' $ est donnée par :

    $ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 1 \times e^x + (x - 3) \times e^x $
    $ f'(x) = (1 + x - 3) e^x = (x - 2) e^x $

    Pour tout réel $ x $, $ e^x > 0 $. Le signe de $ f'(x) $ est donc celui de $ x - 2 $ :

    • $ f'(x) < 0 $ sur $ [0 ; 2[ $
    • $ f'(x) = 0 $ pour $ x = 2 $
    • $ f'(x) > 0 $ sur $ ]2 ; 4] $
  2. On calcule les valeurs aux bornes et l'extremum :
  3. $ f(0) = 10 + (0 - 3)e^0 = 10 - 3 = 7 $
  4. $ f(2) = 10 + (2 - 3)e^2 = 10 - e^2 \approx 2,61 $

  5. $ f(4) = 10 + (4 - 3)e^4 = 10 + e^4 \approx 64,60 $

    Le tableau de variations de $ f $ est donc :

    Tableau de variations de f
  6. D'après le tableau de variations, le minimum de la fonction $ f $ sur $ [0 ; 4] $ est $ 10 - e^2 \approx 2,61 $.
    Comme ce minimum est strictement positif, on en déduit que $ f(x) > 0 $ pour tout $ x \in [0 ; 4] $.

Partie B

  1. Le coût marginal est donné par $ f(x) $ en milliers d'euros. On cherche donc à résoudre l'équation $ f(x) = 11,292 $.
    D'après la partie A, sur l'intervalle $ [0 ; 2] $, le maximum de $ f $ est $ 7 $, donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.

    Sur l'intervalle $ [2 ; 4] $ :

    • $ f $ est continue (car dérivable).
    • $ f $ est strictement croissante.
    • $ f(2) \approx 2,61 < 11,292 $.
    • $ f(4) \approx 64,60 > 11,292 $.

    D'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI), l'équation $ f(x) = 11,292 $ possède une unique solution $ \alpha $ dans l'intervalle $ [2 ; 4] $.
    Il est donc possible d'atteindre un coût marginal de 11 292 euros.

  2. À l'aide d'une calculatrice, on affine la valeur de $ \alpha $ :

    • $ f(3,06) \approx 11,280 $
    • $ f(3,07) \approx 11,508 $

    D'où $ 3,06 < \alpha < 3,07 $.

    En poussant la précision :

    • $ f(3,060) \approx 11,2796 $
    • $ f(3,061) \approx 11,3020 $

    La valeur 11,292 est comprise entre $ f(3,060) $ et $ f(3,061) $.

    La production correspondante est donc d'environ 3,06 tonnes, soit 3 060 kg (à 10 kg près).