(D’après Bac ES Liban 2009 – Modifié pour correspondre au programme en vigueur actuellement)
Partie A
On considère la fonction définie sur $\left[0 ; 4\right]$ par
$f\left(x\right)= 10+\left(x – 3\right) e^{x}$
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Démontrer que $f^{\prime}\left(x\right)=\left(x – 2\right) e^{x}$ et étudier le signe de $f^{\prime}\left(x\right)$ sur l’intervalle $\left[0 ; 4\right]$.
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Dresser le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $\left[0 ; 4\right]$.
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En déduire le signe de $f\left(x\right)$ sur l’intervalle $\left[0 ; 4\right]$.
Partie B
Une entreprise fabrique $x$ tonnes d’un certain produit, avec $x \in \left[0 ; 4\right]$. Le coût marginal de fabrication pour une production de $x$ tonnes est donné par $f\left(x\right)$ exprimé en milliers d’euros, où $f$ est la fonction définie dans la partie A,.
L’entreprise désire adapter sa production pour atteindre un coût marginal de 11 292 euros.
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En utilisant la partie A démontrer qu’il est possible d’atteindre un coût marginal de 11 292 euros.
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Déterminer la production correspondante, à 10 kg près.