Exercice 2 (spé) 5 points
Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité mathématiques
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
| Variables : | $a$ est un entier naturel |
| $b$ est un entier naturel | |
| $c$ est un entier naturel | |
| Initialisation : | Affecter à $c$ la valeur $0$ |
| Demander la valeur de $a$ | |
| Demander la valeur de $b$ | |
| Traitement : | Tant que $a > b$ |
| $\qquad$ Affecter à $c$ la valeur $c+1$ | |
| $\qquad$ Affecter à $a$ la valeur $a – b$ | |
| Fin de tant que | |
| Sortie : | Afficher $c$ |
| Afficher $a$ |
-
Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 13$ et $b = 4$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
-
Que permet de calculer cet algorithme ?
Partie B
À chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre $0$ et $25$.
| A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| N | O | P | Q | R | S | T | U | V | W | X | Y | Z |
| 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
-
Étape 1 : À la lettre que l’on veut coder, on associe le nombre $m$ correspondant dans le tableau.
-
Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de $9m+5$ par $26$ et on le note $p$.
-
Étape 3 : Au nombre $p$, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
-
Coder la lettre U.
-
Modifier l’algorithme de la partie A pour qu’à une valeur de $m$ entrée par l’utilisateur, il affiche la valeur de $p$, calculée à l’aide du procédé de codage précédent.
Partie C
-
Trouver un nombre entier $x$ tel que $9x \equiv 1 \left[26\right]$.
-
Démontrer alors l’équivalence :
$9m+5 \equiv p \left[26\right] \Leftrightarrow m\equiv 3p – 15 \left[26\right].$
-
Décoder alors la lettre B
