On lance 3 pièces bien équilibrées valant respectivement 1€, 2€ et 2€.
On veut étudier la variable aléatoire $X$ qui totalise le montant en euros des pièces tombées sur Pile.
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Représenter l’expérience par un arbre pondéré.
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Quelles sont les différentes valeurs possibles pour $X$?
Donner la loi de probabilité de $X$.
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Quelle est la probabilité d’obtenir un résultat supérieur ou égal à 3€ ?
Corrigé
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Pour simplifier la lecture de l’arbre chaque évènement a été représenté par le montant généré (par exemple « 1 » signifie que la pièce de 1 euro a donné « Pile »)
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Les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont :
0 $\quad$ (0+0+0)
1 $\quad$ (1+0+0)
2 $\quad$ (0+2+0 ou 0+0+2)
3 $\quad$ (1+2+0 ou 1+0+2)
4 $\quad$ (0+2+2)
5 $\quad$ (1+2+2)
Chaque éventualité (issue) a une probabilité de $\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$. Les évènements $X=2$ et $X=3$ correspondent chacun à 2 éventualités. On obtient donc le tableau suivant :
$x_{i}$ 0 1 2 3 4 5 $p\left(X=x_{i}\right)$ $\dfrac{1}{8}$ $\dfrac{1}{8}$ $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{4}$ $\dfrac{1}{8}$ $\dfrac{1}{8}$ -
On recherche $p\left(X\geqslant 3\right)$.
$p\left(X\geqslant 3\right)=p\left(X=3\right)+p\left(X=4\right)+p\left(X=5\right)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}$