Angles orientés dans un pentagone

Puisque $ ABCDE $ est un pentagone régulier, ses sommets partagent le cercle circonscrit en cinq arcs égaux. Les angles au centre qui interceptent ces arcs sont donc tous égaux à $ \dfrac{2\pi}{5} $. Ainsi :

On calcule de même facilement que l'angle que fait un rayon du cercle circonscrit passant par un sommet du pentagone avec un côté du pentagone adjacent à ce sommet est $ \dfrac{1}{2}\left(\pi - \dfrac{2\pi}{5}\right) = \dfrac{3\pi}{10} $.
Par exemple $ (\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BO}) = (\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA}) = \dfrac{3\pi}{10} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $.

1. On cherche des mesures principales d'angles, donc comprises entre $ -\pi $ et $ \pi $.
   On trouve $ (\overrightarrow{DO},\overrightarrow{OB}) = \dfrac{\pi}{5} $.
   $ (\overrightarrow{BO},\overrightarrow{BA}) = \dfrac{3\pi}{10} $.
   $ (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{AB}) = (\overrightarrow{DO}, \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{BO}, \overrightarrow{BA}) = \dfrac{\pi}{5} + \dfrac{3\pi}{10} = \dfrac{\pi}{2} $.
2. Le triangle $ OEC $ étant isocèle en $ O $, $ O $ se trouve sur la médiatrice du segment $ [EC] $. Le triangle $ DEC $ étant isocèle en $ D $, $ D $ se trouve aussi sur la médiatrice du segment $ [EC] $. On en déduit que la droite $ (DO) $ est la médiatrice du segment $ [EC] $. Donc les droites $ (DO) $ et $ (EC) $ sont perpendiculaires.
3. 1. On a démontré en 1. que la droite $ (DO) $ est perpendiculaire au segment $ [AB] $ et en 2. qu'elle est perpendiculaire au segment $ [EC] $. On en conclut que $ (EC) $ et $ (AB) $ sont parallèles.
      Soit $ M $ le milieu de $ [AB] $ et $ M' $ le milieu de $ [EC] $. Le triangle $ OAB $ est isocèle en $ O $, donc $ O $ est sur la médiatrice de $ [AB] $. $ O $ étant aussi sur la médiatrice $ (DO) $ de $ [EC] $, on en conclut que les points $ D, M', O $ et $ M $ sont alignés.
      Comme $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM} $ et $ \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE} = 2\overrightarrow{OM'} $, on en déduit que ces deux vecteurs sont colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $.
   2. Le vecteur $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + (\overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OE}) + \overrightarrow{OD} $ étant la somme de trois vecteurs colinéaires à $ \overrightarrow{OD} $, il est lui-même colinéaire à $ \overrightarrow{OD} $.
4. On démontre de manière analogue que $ (EO) $ est la médiatrice de $ [AD] $ et $ [BC] $, et il en découle que les vecteurs $ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} $, $ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA} $ et $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} $ sont colinéaires à $ \overrightarrow{OE} $.
5. Le fait que le vecteur $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} $ soit colinéaire à deux vecteurs non colinéaires, $ \overrightarrow{OD} $ et $ \overrightarrow{OE} $, implique que $ \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} = \overrightarrow{0} $.

(Solution rédigée par Paki)