I – Rappels
Définitions
On dit qu’une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est :
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croissante sur l’intervalle $I$: si pour tous réels $x_{1}$ et $x_{2}$ appartenant à $I$ tels que $x_{1}\leqslant x_{2}$ on a $f\left(x_{1}\right)\leqslant f\left(x_{2}\right)$.
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décroissante sur l’intervalle $I$: si pour tous réels $x_{1}$ et $x_{2}$ appartenant à $I$ tels que $x_{1} \leqslant x_{2}$ on a $f\left(x_{1}\right) \geqslant f\left(x_{2}\right)$.
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strictement croissante sur l’intervalle $I$: si pour tous réels $x_{1}$ et $x_{2}$ appartenant à $I$ tels que $x_{1} < x_{2}$ on a $f\left(x_{1}\right) < f\left(x_{2}\right)$.
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strictement décroissante sur l’intervalle $I$: si pour tous réels $x_{1}$ et $x_{2}$ appartenant à $I$ tels que $x_{1} < x_{2}$ on a $f\left(x_{1}\right) > f\left(x_{2}\right)$.
Remarques
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Une fonction qui dont le sens de variations ne change pas sur $I$ (c’est à dire qui est soit croissante sur $I$ soit décroissante sur $I$) est dite monotone sur $I$.
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Une fonction constante ($x\mapsto k$ où $k$ est un réel fixé) est à la fois croissante et décroissante mais n’est ni strictement croissante, ni strictement décroissante.
Propriété
Une fonction affine $f : x\mapsto ax+b$ est croissante si son coefficient directeur $a$ est positif ou nul, et décroissante si son coefficient directeur est négatif ou nul.
Remarque
Si le coefficient directeur d’une fonction affine est nul la fonction est constante.
II – Fonction associées
Fonctions $u+k$
Soit $u$ une fonction définie sur une partie $\mathscr D$ de $\mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{R}$
On note $u+k$ la fonction définie sur $\mathscr D$ par :
$u+k : x\mapsto u\left(x\right)+k$
Propriété
Quel que soit $k \in \mathbb{R}$, $u+k$ a le même sens de variation que $u$ sur $\mathscr D$.
Exemple
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f\left(x\right)=x^{2} – 1$.
Si on note $u$ la fonction carrée définie sur $\mathbb{R}$ par $u : x \mapsto x^{2}$
on a $f = u – 1$
Le sens de variation de $f$ est donc identique à celui de $u$ d’après la propriété précédente.
Donc
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$f$ est décroissante sur l’intervalle $\left] – \infty ; 0\right]$
-
$f$ est croissante sur l’intervalle $\left[0 ; +\infty \right[$
Fonctions $k\times u$
Soit $u$ une fonction définie sur une partie $\mathscr D$ de $\mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{R}$
On note $ku$ la fonction définie sur $\mathscr D$ par :
$ku : x\mapsto k\times u\left(x\right)$
Propriété
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si $k > 0$, $ku$ a le même sens de variation que $u$ sur $\mathscr D$.
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si $k < 0$, le sens de variation de $ku$ est le contraire de celui de $u$ sur $\mathscr D$.
Exemple
Soit $f$ définie sur $\left] – \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[$ par $f\left(x\right)= – \dfrac{1}{x}$.
Si on note $u$ la fonction inverse définie sur $\left] – \infty ; 0\right[ \cup \left]0 ; +\infty \right[$ par $u : x \mapsto \dfrac{1}{x}$
on a $f = – 1\times u$
Comme $ – 1$ est négatif, le sens de variation de $f$ est inverse de celui de $u$ sur chacun des intervalles $\left] – \infty ; 0\right[$ et $\left]0 ; +\infty \right[$
Donc $f$ est croissante sur l’intervalle $\left] – \infty ; 0\right]$ et sur l’intervalle $\left]0 ; +\infty \right[$
Fonctions $\sqrt{u}$
Soit $u$ une fonction définie sur une partie $\mathscr D$ de $\mathbb{R}$.
On note $\sqrt{u}$ la fonction définie, pour tout $x$ de $\mathscr D$ tel que $u\left(x\right) \geqslant 0$, par :
$\sqrt{u} : x\mapsto \sqrt{u\left(x\right)}$
Propriété
$\sqrt{u}$ a le même sens de variation que $u$ sur tout intervalle où $u$ est positive.
Exemple
Soit $f : x \mapsto \sqrt{x – 2}$
$f$ est définie si et seulement si $x – 2 \geqslant 0$, c’est à dire sur $\mathscr D=\left[2 ; +\infty \right[$
Sur l’intervalle $\mathscr D$ la fonction $f$ est croissante car la fonction $x \mapsto x – 2$ l’est (fonction affine dont le coefficient directeur est positif).
Fonctions $\dfrac{1}{u}$
Soit $u$ une fonction définie sur une partie $\mathscr D$ de $\mathbb{R}$.
On note $\dfrac{1}{u}$ la fonction définie pour tout $x$ de $\mathscr D$ tel que $u\left(x\right) \neq 0$ par :
$\dfrac{1}{u} : x\mapsto \dfrac{1}{u\left(x\right)}$
Propriété
$\dfrac{1}{u}$ a le sens de variation contraire de $u$ sur tout intervalle où $u$ ne s’annule pas et garde un signe constant.
Exemple
Soit $ f : x \mapsto \dfrac{1}{x+1}$
$f$ est définie si et seulement si $x+1 \neq 0$, c’est à dire sur $\mathscr D=\left] – \infty ; – 1\right[ \cup \left] – 1 ; +\infty \right[$
La fonction $x \mapsto x+1$ est croissante sur $\mathbb{R}$
Sur l’intervalle $\left] – \infty ; – 1\right[ $ la fonction $x \mapsto x+1$ est strictement négative (donc a un signe constant).
Sur l’intervalle $\left] – 1 ; +\infty \right[$ la fonction $x \mapsto x+1$ est strictement positive (donc a un signe constant).
Donc $f$ est strictement décroissante sur chacun des intervalles $\left] – \infty ; – 1\right[ $ et $ \left] – 1 ; +\infty \right[$
